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已知：如图，OA与oB外切于点C，DE是两圆的一条外公切线，切点分别为D、E．
（1）判断△DCE的形状并证明；
（2）过点C作CO⊥DE，垂足为点O，以直线DE为x轴、直线DC为y轴建立直角坐标系，且OE=2，OD=8，求经过D、C、E三点的抛物线的函数解析式，并求出抛物线的顶点坐标；
（3）这条抛物线的顶点是否在连心线AB上？如果在，请你证明；如果不在，说明理由．

【答案】分析：（1）过C点作⊙A与⊙B的内公切线交DE于F，可得出FC=FD，FC=FE，则△DCE是直角三角形；
（2）可证明△DOC∽△COE，则OC²=OD•OF=16，可求出C点坐标（0，4），设经过D、C、E三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c或者y=a（x-x₁）（x-x₂），把D（-8，0），E（2，0），C（0，4）代入即可解得解析式，从而求出顶点坐标；
（3）连接AD、BE，过B点作BG⊥AD于G，设⊙A半径为R，⊙B半径为r，由AD∥CO∥BE，得AC：CB=DO：OE=4：1，在Rt△AGB中，根据勾股定理可求得r．即可得出A点坐标，B点坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），把抛物线顶点坐标代入直线的解析式，从而判断出抛物线的顶点P在连心线AB上．
解答：解：（1）△DCE是直角三角形，
过C点作⊙A与⊙B的内公切线交DE于F，则FC=FD，FC=FE，
∴FC是△CDE的中线，且FC=

DE，
∴△DCE是直角三角形，∠DCE=90°；

（2）在Rt△DCE中，CO⊥DE于O点，△DOC∽△COE，
∴OC²=OD•OF=16，OC=4，C点坐标（0，4），
设经过D、C、E三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c或者y=a（x-x₁）（x-x₂），
把．D（-8，0），E（2，0），C（0，4）代入解析式，
解得：y=-

x²-1.5x+4，
∴顶点坐标是（-3，

）；

（3）答：抛物线的顶点在连心线AB上．证明如下：
连接AD、BE，过B点作BG⊥AD于G，设⊙A半径为R，⊙B半径为r，
∵AD∥CO∥BE，

∴AC：CB=DO：OE=4：1
在Rt△AGB中，AB²=AG²+BG²，
∴r=

R=10，
．∴A点坐标（-8，10），B点坐标（2，2.5），
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
解得y=-

x+4，
把抛物线顶点坐标（-3，

）代入直线的解析式，
左边=右边=

，
∴抛物线y=-

x²-1.5x+4的顶点P（-3，

）在连心线AB上．
点评：本题是一道二次函数的综合题，考查相切两圆的性质、函数以及相似三角形的判定和性质等知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．

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