Question

2．如图，点A（3，4）在直线y=kx上，过点A作AB⊥x轴于B点，抛物线y=$\frac{1}{9}$x²+m过点M（0，-1），问：
（1）m=-1，k=$\frac{4}{3}$；
（2）设点B关于直线y=kx的对称点为C点，求C点坐标；
（3）若抛物线与x轴的交点为Q，试问在直线y=kx上是否存在点P，使得∠CPQ=∠OAB？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点M坐标代入抛物线y=$\frac{1}{9}$x²+m，即可求出m的值；把点A坐标代入直线y=kx，即可求出k的值；
（2）由轴对称得出OA是CB的中垂线，根据互相垂直的两条直线的关系，根据待定系数法可求直线BC的解析式，再联立方程可求交点坐标，根据两点间的距离公式可求C点坐标；
（3）先求出Q的坐标，①当Q 为（3，0）时，Q与B重合；以A为圆心，AB为半径作圆交OA于一点，即为P点，∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠CAB=∠OAB；此时AP=AB=4，作PH⊥x轴于H，则AB∥PH，△OAB∽△OPH，得出比例式$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OB}{OH}$=$\frac{AB}{PH}$，求出OH、PH，即可得出P的坐标；由轴对称的性质可得另一点P′的坐标；②当Q 为（-3，0）时，以O为圆心，OB为半径作圆交OA于两点，即为P点；作PH⊥OB于H，则PH∥AB，△OPH∽△OAB，得出比例式$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OH}{OB}$=$\frac{PH}{AB}$，求出OH、PH即可得出P的坐标；由中心对称可得另一点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{9}$x²+m过点M（0，-1），
∴m=-1，
∵点A（3，4）在直线y=kx上，
∴3k=4，
∴k=$\frac{4}{3}$．
故答案为：-1，$\frac{4}{3}$；
（2）如图1，
∵点C、B关于直线OA对称，
∴OA是CB的中垂线，
∵AB⊥x轴，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+b，则-$\frac{3}{4}$×3+b=0，
解得b=$\frac{9}{4}$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$，
依题意有$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{27}{25}}\\{y=\frac{36}{25}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{27}{25}$，$\frac{36}{25}$）
∴C（-$\frac{21}{25}$，$\frac{72}{25}$）；
（3）存在，点P的坐标为：（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$），或（-$\frac{81}{25}$，-$\frac{108}{25}$），或（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$），或（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{12}{5}$）；
理由如下：
由y=$\frac{1}{9}$x²-1，当y=0时，$\frac{1}{9}$x²-1=0，
解得：x₁=3，x₂=-3，
∴Q点的坐标为（3，0）或（-3，0），
①当Q 为（3，0）时，Q与B重合；
以A为圆心，AB为半径作圆交OA于一点，即为P点，如图2所示：
∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠CAB=∠OAB；
此时AP=AB=4，作PH⊥x轴于H，
则AB∥PH，
∴△OAB∽△OPH，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OB}{OH}$=$\frac{AB}{PH}$，
即$\frac{5}{9}$=$\frac{3}{OH}$=$\frac{4}{PH}$，
∴OH=$\frac{27}{5}$，PH=$\frac{36}{5}$，
∴点P的坐标为：（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$）；
由轴对称的性质可得另一点P′的坐标为：（-$\frac{81}{25}$，-$\frac{108}{25}$）；
②当Q 为（-3，0）时，如图3所示：
设BC与OA交于M点，
∴CM=MB，QO=OB，
∴CQ∥OA，
∴∠QCB=∠OMB=90°，
以O为圆心，OB为半径作圆交OA于两点，即为P点，
点C在⊙O上，∠CPQ=∠CBQ，
∵∠CBQ+∠POB=∠OAB+∠POB=90°，
∴∠CBQ=∠OAB，
∴∠CPQ=∠OAB满足条件，
∴OP=OB=3，
作PH⊥OB于H，则PH∥AB，
∴△OPH∽△OAB，
∴$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OH}{OB}$=$\frac{PH}{AB}$，
即$\frac{3}{5}$=$\frac{OH}{3}$=$\frac{PH}{4}$，
∴OH=$\frac{9}{5}$，PH=$\frac{12}{5}$，
∴点P的坐标为：（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$）；
由中心对称可得另一点P的坐标为：（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．
综上所述：点P的坐标为：（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$），或（-$\frac{81}{25}$，-$\frac{108}{25}$）或（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$）或（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．

点评 本题是二次函数和一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、二次函数解析式的求法、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、中心对称的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助圆和三角形相似才能得出结果．