Question

【题目】阅读下列材料：

已知实数m，n满足(2m2＋n2＋1)(2m2＋n2－1)＝80，试求2m2＋n2的值.

解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为(t＋1)(t－1)＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，

所以t＝土9，因为2m2＋n2＞0，所以2m2＋n2＝9.

上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整休，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.

（1）已知实数x、y，满足(2x2＋2y2＋3)(2x2＋2y2－3)＝27，求x2＋y2的值.

（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足(a2＋b2)(a2＋b2－4)＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．

Answer 1

【答案】（1）x2＋y2＝3；（2）外接圆半径为

【解析】

（1）设2x2＋2y2=t则原方程可变为(t＋3)(t－3)＝27，解方程即可；

（2）设a2＋b2＝t，则原方程可变为t(t－4)＝5，解得t后再由勾股定理求的c，最后由直角三角形的斜边是外接圆的直径可得半径是.

解：（1）设2x2＋2y2＝t，则原方程可变为

(t＋3)(t－3)＝27

解得t＝±6，∵2x2＋2y2≥0，∴2x2＋2y2＝6

∴x2＋y2＝3

（2）(a2＋b2)(a2＋b2－4)＝5

设a2＋b2＝t，则原方程可变为

t(t－4)＝5，即t2－4t－5＝0

解得t1＝5，t2＝－1

∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝5

∴c2＝5，∴c＝，∴外接圆半径为