【题目】已知抛物线y=ax2+bx﹣8(a≠0)的对称轴是直线x=1,
(1)求证:2a+b=0;
(2)若关于x的方程ax2+bx﹣8=0,有一个根为4,求方程的另一个根.
【答案】
(1)解:∵抛物线的对称轴是x=1,
∴ =1,
∴2a+b=0
(2)解:∵关于x的方程ax2+bx﹣8=0有一个根为4,
∴抛物线y=ax2+bx﹣8(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(4,0),
∵抛物线的对称轴是x=1,
∴抛物线y=ax2+bx﹣8(a≠0)与x轴的另一个交点坐标为(﹣2,0),
∴关于x的方程ax2+bx﹣8=0,有一个根为﹣2.
【解析】(1)根据对称轴是直线x=1=-,即可得出结论。
(2)先根据二次函数的性质、对称轴及与x轴的一个交点坐标,求出抛物线与x轴的另一个交点坐标,再根据抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴的两交点的横坐标就是关于x的方程ax2+bx﹣8=0两个根。即可求解。
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【题目】将一副直角三角板按如图1 摆放在直线AD 上(直角三角板OBC 和直角三角板MON,∠OBC=90°,∠BOC=45°,∠MON=90°,∠MNO=30°),保持三角板OBC 不动,将三角板MON 绕点O 以每秒8°的速度顺时针方向旋转t 秒.
(1)如图2,当t= 秒时,OM 平分∠AOC,此时∠NOC﹣∠AOM= ;
(2)继续旋转三角板MON,如图3,使得OM、ON 同时在直线OC 的右侧,猜想∠NOC与∠AOM 有怎样的数量关系?并说明理由(数量关系中不能含t);
(3)直线AD 的位置不变,若在三角板MON 开始顺时针旋转的同时,另一个三角板OBC也绕点O 以每秒2°的速度顺时针旋转,当OM 旋转至射线OD 上时,两个三角板同时停止运动.
①当t= 秒时,∠MOC=15°;
②请直接写出在旋转过程中,∠NOC 与∠AOM 的数量关系(数量关系中不能含t).
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【题目】某边防局接到情报,近海处有一可疑船只正向公海方向行驶,边防局迅速派出快艇追赶(如图1).图2中、分别表示两船相对于海岸的距离(海里)与追赶时间(分)之间的关系.
(1)求、的函数解析式;
(2)当逃到离海岸12海里的公海时,将无法对其进行检查.照此速度,能否在逃入公海前将其拦截?若能,请求出此时离海岸的距离;若不能,请说明理由.
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【题目】阅读材料,并回答问题
如图,有一根木棒 MN 放置在数轴上,它的两端 M、N 分别落在点 A、B.将木 棒在数轴上水平移动,当点 M 移动到点 B 时,点 N 所对应的数为 20,当点 N 移动到点 A 时,点 M 所对应的数为 5.(单位:cm)
由此可得,木棒长为 cm. 借助上述方法解决问题:
一天,美羊羊去问村长爷爷的年龄,村长爷爷说:“我若是你现在这么大,你还 要 40 年才出生呢,你若是我现在这么大,我已经是老寿星了,116 岁了,哈哈!” 美羊羊纳闷,村长爷爷到底是多少岁? 请你画出示意图,求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄,并说明解题思路.
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【题目】某店准备购进 A,B 两种口罩,A 种口罩毎盒的进价比 B 种口罩每盒的进价多 10 元,用 2000 元购进 A种口罩和用 1500 元购进 B 种口罩的数量相同.
(1)A 种口罩每盒的进价和 B 种口罩每盒的进价各是多少元?
(2)商店计划用不超过 1770 元的资金购进 A,B 两种口罩共 50 盒,其中 A 种口罩的数量应多于 B 种口罩数量,该商店有几种进货方案?
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【题目】阅读以下内容:
已知实数m,n满足m+n=5,且求k的值,
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路:
甲同学:先解关于m,n的方程组,再求k的值、
乙同学:将原方程组中的两个方程相加,再求k的值
丙同学:先解方程组,再求k的值
(1)试选择其中一名同学的思路,解答此题
(2)试说明在关于x、y的方程组中,不论a取什么实数,x+y的值始终不变。
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【题目】如图①所示,ABCD是某公园的平面示意图,A、B、C、D分别是该公园的四个入口,两条主干道AC、BD交于点O,经测量AB=0.5km,AC=1.2km,BD=1km,请你帮助公园的管理人员解决以下问题:
(1)公园的面积为 km2;
(2)如图②,公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后,为提升游客游览的体验感,准备修建三条绿道AN、MN、CM,其中点M在OB上,点N在OD上,且BM=ON(点M与点O、B不重合),并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植郁金香,求种植郁金香区域的面积;
(3)若修建(2)中的绿道每千米费用为10万元,请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值.
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【题目】某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况:
(进价、售价均保持不变,利润 = 销售收入-进货成本)
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价;
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台,求A种型号的电风扇最多能采购多少台?
(3)在(2)的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
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