Question

如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，AC是⊙O的直径，过P作PM⊥BP交CB的延长线于M
（1）求证：∠C=∠M
（2）若cos∠C=

2

3

，CM=3，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明，如图，连接OB、OP．∵PB是⊙O的切线，点B是切点，
∴∠PBO=90°．
又∵PM⊥BP，
∴∠BPM=90°，
∴∠PBO=∠BPM，
∴MP∥OB，
∴∠M=∠OBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∴∠C=∠M；

（2）如图，连接AB，则OP⊥AB，CB⊥AB．
∴OP∥CM．
又∵MP∥OB，
∴四边形OBMP是平行四边形．
设⊙O的半径为R，则MP=OB=R．
∵cos∠C=

BC

AC

=

2

3

，
∴BC=

4

3

R．
∴cos∠M=cos∠C=

PM

BM

=

2

3

，
∴BM=

3

2

R，
∴

4

3

R+

3

2

R=3，
解得，R=

18

17

．