Question

7．按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形，若第一个正方形的边AB=1，第1个等腰直角三角形面积为S₁，第2个等腰直角三角形的面积为S₂，…，第n个等腰直角三角形的面积为S_n（其中n为正整数），则S_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的斜边为直角边的$\sqrt{2}$倍得到第1个等腰直角三角形的腰长=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用面积公式得到S₁=$\frac{1}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，同样方法得到第2个等腰直角三角形的腰长=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，S₂=$\frac{1}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁴；利用此规律得到第n个等腰直角三角形的腰长=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ，S_n=$\frac{1}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²ⁿ．

解答 解：第1个等腰直角三角形的腰长=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则S₁=$\frac{1}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²；
第2个等腰直角三角形的腰长=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，则S₂=$\frac{1}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁴；
第3等腰直角三角形的腰长=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³，则S₃=$\frac{1}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁶；
所以第n个等腰直角三角形的腰长=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ，则S_n=$\frac{1}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²ⁿ=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
故答案为$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．等腰直角三角形的两个锐角都是45°，斜边为直角边的$\sqrt{2}$倍；斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．