Question

如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=-

1

2

x+b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；
（3）连接OF、OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明；
（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例函数在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论；
（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y=-

1

2

x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标；
（3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG．设直线EG的解析式为y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直线EG的解析式，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线．所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论；
（4）分△PDQ的三个角分别是直角，三种情况进行讨论，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，即可构造全等的直角三角形，设出P的坐标，根据点在图象上，则一定满足函数的解析式即可求解．

解答：解：（1）设反比例函数的解析式y=

k

x

，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），
∴4=

k

3

，即k=12，
∴反比例函数的解析式y=

12

x

；

（2）∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D（4，3），
∵点D在直线y=-

1

2

x+b上，
∴3=-

1

2

×4+b，
解得：b=5，
∴直线DF为y=-

1

2

x+5，
将y=4代入y=-

1

2

x+5，得4=-

1

2

x+5，
解得：x=2，
∴点F的坐标为（2，4）．

（3）∠AOF=

1

2

∠EOC，理由为：
证明：在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，
∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG（SAS）．
∴∠AOF=∠COG．
∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC（ASA）．
∴EG=HG．
设直线EG：y=mx+n，
∵E（3，4），G（4，2），
∴

3m+n=4 4m+n=2

，
解得

m=-2 n=10

，
∴直线EG：y=-2x+10．
令y=-2x+10=0，得x=5．
∴H（5，0），OH=5．
在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5．
∴OH=OE．
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线．
∴OG是等腰三角形顶角的平分线．
∴∠EOG=∠GOH．
∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF=

1

2

∠EOC；

（4）当Q在D的右侧（如图1），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QL⊥DK，于点L．
则△DPK≌△QDK，
设P的坐标是（a，0），则KP=DL=4-a，QL=DK=3，则Q的坐标是（4+3，4-3+a）即（7，-1+a），
把（7，-1+a）代入y=

12

x

得：7（-1+a）=12，
解得：a=

19

7

，
则P的坐标是（

19

7

，0）；
当Q在D的左侧（如图2），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，
则△QDL≌△PDK，
则DK=DL=3，设P的坐标是b，则PK=QL=4-b，则QR=4-b+3=7-b，OR=OK-DL=4-3=1，
则Q的坐标是（1，7-b），代入y=

12

x

得：b=-5，则P的坐标是（-5，0）；
当Q在D的右侧（如图3），且∠DQP=90°时，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，
则△QDL≌△PQK，则DK=DL=3，设Q的横坐标是c，则纵坐标是

12

c

，
则QK=QL=

12

c

，
又∵QL=c-4，
∴c-4=

12

c

，
解得：c=-2（舍去）或6．
则PK=DL=DR-LR=DR-QK=3-

12

6

=1，
∴OP=OK-PK=6-1=5，
则P的坐标是（5，0）；
当Q在D的左侧（如图3），且∠DQP=90°时，不成立；
当∠DPQ=90°时，（如图4），作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，
则△DPR≌△PQK，
∴DR=PK=3，RP=QK，
设P的坐标是（d，0），
则RK=QK=d-4，
则OK=OP+PK=d+3，
则Q的坐标是（d+3，d-4），代入y=

12

x

得：（d+3）（d-4）=12，
解得：d=

1+ 97

2

或

1- 97

2

（舍去）．
则P的坐标是（

1+ 97

2

，0）．
总之，P的坐标是（

19

7

，0）或（-5，0）或（

1+ 97

2

，0）或（5，0）．

点评：本题是待定系数法求函数的解析式，以及全等三角形的判定与性质的综合应用，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．