Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，点F在线段OD上，∠EAO＝∠FCB，AE＝EF＝4，则AD的长为_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

过C点作CM⊥BD于M点，证明∠FCM=∠OCB，借助矩形性质及同角的余角相等，得到∠FCM=∠MCD，从而得到DM=MF=BE，在Rt△ABD中利用射影定理AE2=BEED，可求BE及MF、MD长，在Rt△BMC借助勾股定理求出BC长就是AD的值．

过C点作CM⊥BD于M点，

∴EM∥AE，

∴∠MCO＝∠EAO．

∵∠EAO＝∠FCB，

∴∠MCO＝∠FCB，

∴∠MCO﹣∠FCO＝∠FCB﹣∠FCO，

即∠FCM＝∠OCB．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠OCB＝∠OBC．

∵∠OBC+∠BDC＝90°，∠MCD+∠MDC＝90°，

∴∠OBC＝∠MCD．

∴∠MCF＝∠MCD．

∴FM＝MD．

在△AEB和△CMD中，

∴△AEB和△CMD(AAS)．

∴BE＝MD．

设BE＝MD＝MF＝x，

在Rt△ABD中，AE⊥BD，

易证△ABE∽△DAE，

∴AE2＝BEED，即16＝x(4+2x)，解得x＝2．

∴BM＝8．

在Rt△CMB中，利用勾股定理可得BC2＝BM2+MC2，

所以BC＝．

所以AD＝BC＝4．

故答案为：4．