【题目】已知△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,点E是直线AD上的动点,将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF,连接EF、CF、AF.
(1)如图1,当点E在线段AD上时,猜想∠AFC和∠FAC的数量关系;(直接写出结果)
(2)如图2,当点E在线段AD的延长线上时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明你的结论,若不成立,请写出你的结论,并证明你的结论;
(3)点E在直线AD上运动,当△ACF是等腰直角三角形时,请直接写出∠EBC的度数.
【答案】(1)∠AFC+∠FAC=90°,见解析;(2)仍成立,见解析;(3)15°
【解析】
(1)由旋转的性质可得BE=BF,∠EBF=60°,由“SAS”可证△ABE≌△CBF,可得∠BAE=∠BCF=30°,由直角三角形的性质可得结论;
(2)由旋转的性质可得BE=BF,∠EBF=60°,由“SAS”可证△ABE≌△CBF,可得∠BAE=∠BCF=30°,由直角三角形的性质可得结论;
(3)由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得AB=AE,由等腰三角形的性质可求解.
解:(1)∠AFC+∠FAC=90°,
理由如下:连接AF,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=30°,
∵将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF,
∴BE=BF,∠EBF=60°,
∴∠EBF=∠ABC,
∴∠ABE=∠FBC,且AB=BC,BE=BF,
∴△ABE≌△CBF(SAS)
∴∠BAE=∠BCF=30°,
∴∠ACF=90°,
∴∠AFC+∠FAC=90°;
(2)结论仍然成立,
理由如下:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=30°,
∵将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF,
∴BE=BF,∠EBF=60°,
∴∠EBF=∠ABC,
∴∠ABE=∠FBC,且AB=BC,BE=BF,
∴△ABE≌△CBF(SAS)
∴∠BAE=∠BCF=30°,
∴∠ACF=90°,
∴∠AFC+∠FAC=90°;
(3)∵△ACF是等腰直角三角形,
∴AC=CF,
∵△ABE≌△CBF,
∴CF=AE,
∴AC=AE=AB,
∴∠ABE==75°,
∴∠EBC=∠ABE﹣∠ABC=15°.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,抛物线的对称轴x=1,与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标.
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形;若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大;求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=,D、E分别在边AC、BC上,CD=1,DE∥AB,将△CDE绕点C旋转,旋转后点D、E对应的点分别为D′、E′,当点E′落在线段AD′上时,连接BE′,此时BE′的长为( )
A.2B.3C.2D.3
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)求过B、C两点的直线的函数表达式;
(3)点P是第一象限内抛物线上的一个动点.过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点P的坐标,若不存在,请说明理由;
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点C,D为上的点,且=,延长AD,BC相交于点E,连接OD交AC于点F.
(1)求证:△ABC≌△AEC;
(2)若OA=3,BC=4,求AD的长.
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【题目】某企业生产并销售某种产品,整理出该商品在第()天的售价与函数关系如图所示,已知该商品的进价为每件30元,第天的销售量为件.
(1)试求出售价与之间的函数关系是;
(2)请求出该商品在销售过程中的最大利润;
(3)在该商品销售过程中,试求出利润不低于3600元的的取值范围.
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【题目】如图,抛物线的对称轴是直线,且与轴相交于A,B两点(点B在点A的右侧),与轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;
(2)若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B,C重合),则是否存在一点P,使△BPC的面积最大?若存在,请求出△BPC的最大面积;若不存在,试说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,以AB为直径的⊙O交BC于点F,连结OC,过点B作BD∥OC交⊙O点D.连接AD交OC于点E
(1)求证:BD=AE.
(2)若OE=1,求DF的值.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B两点,与y轴交于点C(0,3),抛物线的顶点在直线x=1上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为第一象限内抛物线上的一个动点,过点P做PQ∥y轴交BC与点Q,当点P在何位置时,线段PQ的长度有最大值?
(3)点M在x轴上,点N在抛物线对称轴上,是否存在点M,点N,使以点M,N,C,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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