Question

【题目】如图1，反比例函数(k>0)图象经过等边△OAB的一个顶点B，点A坐标为（2，0），过点B作BM⊥x轴，垂足为M．

（1）求点B的坐标和k的值；

（2）若将△ABM沿直线AB翻折，得到△ABM'，判断该反比例函数图象是从点M'的上方经过，还是从点M'的下方经过，又或是恰好经过点M'，并说明理由；

（3）如图2，在x轴上取一点A1，以AA1为边长作等边△AA1B1，恰好使点B1落在该反比例函数图象上，连接BB1，求△ABB1的面积．

Answer 1

【答案】（1）k＝；（2）该反比例函数图象是从点M'的下方经过；理由见解析；（3）△ABB1的面积为.

【解析】

（1）由△OAB为等边三角形及OA＝2，可得出OM，BM的长，进而可得出点B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值；

（2）过点M′作M′C⊥x轴，垂足为点C，由折叠的性质，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，在Rt△ACM′中，通过解直角三角形可求出AC，CM′的长，进而可得出OC的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数图象与直线CM′交点的纵坐标，将其与点M′的纵坐标比较后即可得出结论；

（3）过点B1作B1D⊥x轴，垂足为点D，设AA1＝a，则AD＝a，B1D＝a，OD＝2＋a，进而可得出点B1的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a的值，进而可得出MD，B1D，AD的长，再结合S△ABB1＝S梯形BMDB1S△BMAS△ADB1即可求出△ABB1的面积．

（1）∵△OAB为等边三角形，OA＝2，

∴OM＝OA＝1，BM＝OA＝，

∴点B的坐标为（1，）．

∵反比例函数图象经过点B，

∴k＝．

（2）该反比例函数图象是从点M'的下方经过，理由如下：

过点M′作M′C⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．

由折叠的性质，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，

∴∠M′AC＝180°﹣∠BAM﹣∠BAM′＝60°．

在Rt△ACM′中，AM′＝1，∠ACM′＝90°，∠M′AC＝60°，

∴∠AM′C＝30°，

∴AC＝AM′＝，CM′＝AM′＝．

∴OC＝OA+AC＝，

∴点M′的坐标为（，）．

当x＝时，，

∵＜，

∴该反比例函数图象是从点M'的下方经过．

（3）过点B1作B1D⊥x轴，垂足为点D，如图2所示．

设AA1＝a，则AD＝a，B1D＝a，OD＝2+a，

∴点B1的坐标为（2+a，a）．

∵点B1在该反比例函数的图象上，

∴（2+a）a＝，

解得：a1＝﹣2﹣2（舍去），a2＝2﹣2，

∴MD＝AM+AD＝，B1D＝a＝﹣，AD＝a＝﹣1，

∴S△ABB1＝S梯形BMDB1S△BMAS△ADB1

＝（BM+B1D）MD﹣BMAM﹣B1DAD，

，

.