Question

7．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（6，n），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E（a，3），且AB∥CD，CD=4，求证：四边形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 由点B，D在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a、n的值，由AB∥CD、AB=CD可得出四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出BE=DE、AE=CE，由此可得出点C、D的坐标，根据点A、B、C、D的坐标可得出AD∥y轴、AB∥x轴，进而可得出∠BAD=90°，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可证出四边形ABCD是矩形．

解答 证明：∵点B，D在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上，
∴n=$\frac{1}{2}$×6+1，3=$\frac{1}{2}$a+1，
解得：n=4，a=4，
∴点A（2，4），点B（6，4），点E（4，3）．
∵点A（2，n），B（6，n），
∴AB=6-2=4=CD．
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴BE=DE，AE=CE，
∴点D（2，2），点C（6，2）．
∴AD∥y轴，AB∥x轴，
∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的判定以及平行四边形的判定与性质，根据一次函数图象上点的坐标特征结合平行四边形的性质找出点A、B、C、D的坐标是解题的关键．