Question

14．如图，在△ABC中，点D、E在BC上，且BD=EC=$\frac{1}{5}$BC，F在AC上，且AF=$\frac{2}{3}$AC，BF与AD、AE分别交于点G、H，若△ABC的面积为1155，求：
（1）$\frac{AH}{HE}$的值；
（2）四边形GHED的面积的值．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，首先证明CF=5CK（设CK为λ），进而证明AF=10λ，FK=4λ；运用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；运用相似三角形的性质求出$\frac{HM}{EN}、\frac{AG}{DG}$的值，进而求出$\frac{{S}_{△GEH}}{{S}_{△AGH}}、\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△AGH}}$的值；求出$\frac{{S}_{四边形GHED}}{{S}_{△ADE}}$的值；运用已知条件求出S_△SDE的值，即可解决问题．

解答 解：（1）如图，过点E作EK∥BF，过点D作DL∥AC；连接GE；
则$\frac{CK}{CF}=\frac{CE}{CB}$，而CE=$\frac{1}{5}BC$，
∴CF=5CK（设CK为λ）；而AF=$\frac{2}{3}$AC，
∴AF=10λ，FK=4λ；而HF∥EK，
∴$\frac{AH}{HE}=\frac{AF}{FK}=\frac{10λ}{4λ}=\frac{5}{2}$．

（2）过点D作DL∥AC；连接GE；
分别过点E、H作EN⊥AD、HM⊥AD；
则NE∥HM，△AHM∽△AEN，
∴$\frac{HM}{EN}=\frac{AH}{AE}=\frac{5}{7}$；而DL∥AC，
∴△BDL∽△BCF，△DGL∽△AGF，
$\frac{DL}{CF}=\frac{BD}{BC}$①，$\frac{AF}{DL}=\frac{AG}{DG}$②，
由①×②得：$\frac{AF}{CF}=\frac{BD}{BC}×\frac{AG}{DG}$③；
∵AF=$\frac{2}{3}$AC，BD=$\frac{1}{5}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{2}{1}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{1}{5}$，代入③式，
解得：$\frac{AG}{DG}$=10，
∴$\frac{{S}_{△DGE}}{{S}_{△AGH}}=\frac{\frac{1}{2}DG•EN}{\frac{1}{2}AG•HM}$=$\frac{DG}{AG}×\frac{EN}{HM}$
=$\frac{1}{10}×\frac{7}{5}$=$\frac{7}{50}$；
∵△GEH、△AGH的底在同一条直线上，且等高，
∴面积之比等于底边长之比，
∴$\frac{{S}_{△GEH}}{{S}_{△AGH}}=\frac{HE}{AH}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{S}_{四边形GHED}}{{S}_{△AGH}}=\frac{7}{50}+\frac{2}{5}$=$\frac{27}{50}$，
∴${S}_{四边形GHED}=\frac{27}{77}×{S}_{△ADE}$；
∵△ABC、△ADE的底在同一条直线上，且等高，
∴面积之比等于底边长之比；
∵BD=EC=$\frac{1}{5}$BC，
∴DE=$\frac{3}{5}BC$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=\frac{DE}{BC}=\frac{3}{5}$；而S_△ABC=1155，
∴S_△ADE=693．
∴S_{四边形GHED}=$\frac{27}{77}×693$=243．

点评 该题以三角形为载体，以面积与等积变换、相似三角形的判定及其性质、三角形的面积公式等几何知识点为考查的核心构造而成；解题的方法是作辅助线，构造相似三角形，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质、三角形的面积公式等几何知识点来分析、判断、推理或解答．