Question

【题目】一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为（　　）

A. 3 B. C. D. 2

Answer 1

【答案】C

【解析】

过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，分别与弧的交点为A、G，过切点F作PF⊥半径OE交OP于P点，根据垂径定理及其推论得到BD=DC，即OP为BC的中垂线，OP必过弧BGC所在圆的圆心，再根据切线的性质得到PF必过弧BGC所在圆的圆心，则点P为弧BGC所在圆的圆心，根据折叠的性质有⊙P为半径等于⊙O的半径，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，由F点分⊙O的直径为3：1两部分可计算出OF=1，在Rt△OPF中，设OG=x，利用勾股定理可计算出x，则由AG=PG-AP计算出AG，可得到DG的长，于是可计算出OD的长，在Rt△OBD中，利用勾股定理计算BD，即可得到BC的长．

过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，分别与弧的交点为A、G，过切点F作PF⊥半径OE交OP于P点，如图，

∵OP⊥BC，

∴BD=DC，即OP为BC的中垂线，

∴OP必过弧BGC所在圆的圆心，

又∵OE为弧BGC所在圆的切线，PF⊥OE，

∴PF必过弧BGC所在圆的圆心，

∴点P为弧BGC所在圆的圆心，

∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC，

∴⊙P为半径等于⊙O的半径，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，

∴OG=AP，

而F点分⊙O的直径为3：1两部分，

∴OF=1，

在Rt△OPF中，设OG=x，则OP=x+2，

∴OP2=OF2+PF2，即（x+2）2=12+22，解得x=-2，

∴AG=2-（-2）=4-，

∴DG=，

∴OD=OG+DG=-2+2-=，

在Rt△OBD中，BD2=OB2+OD2，即BD2=22-（）2，

∴BD=，

∴BC=2BD=．

故选C．