Question

如图，已知在△ABC中，∠BCA=90°，D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A；
（1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）若

BC

AB

=

3

5

，四边形EBFD的周长为22，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）因为D、E分别是AC、AB的中点，所以ED∥BC，又因为点F在BC延长线上，所以ED∥CF，则可求证△ADE≌△CDE，所以∠A=∠ECD，则有EC∥DF，故四边形DECF是平行四边形；
（2）因为AE=EC=EB=

1

2

AB，所以ED=CF=

1

2

BC，又因为四边形EBFD的周长为22，所以可以求出DE的值．

解答：（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE∥BC且DE=

1

2

BC，
∴DE是△ABC的中位线，
又∵∠BCA=90°，
∴点E在线段AC的垂直平分线上，
∴CE=AE=

1

2

AB，
∴∠A=∠DCE，
∵∠CDF=∠A，
∴∠DCE=∠CDF，
∴CE∥DF，
∴四边形DECF是平行四边形；

（2）解：设BC=3x，AB=5x．
由题（1）得CF=DE=1.5x，BE=DF=CE=2.5x，
∵四边形EBFD的周长为22即BE+DE+DF+BF=22，
∴2.5x+2.5x+（3x+1.5x）+1.5x=22，
解得：x=2，
∴DE=1.5x=3．

点评：此题考查平行四边形的判定方法与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．