Question

已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），点P（m，n）是抛物线上的一个动点．
（1）如图1，过动点P作PB⊥x轴，垂足为B，连接PA，请通过测量或计算，比较PA与PB的大小关系：PA______PB（直接填写“＞”“＜”或“=”，不需解题过程）；
（2）请利用（1）的结论解决下列问题：
①如图2，设C的坐标为（2，5），连接PC，AP+PC是否存在最小值？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，简单说明理由；
②如图3，过动点P和原点O作直线交抛物线于另一点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．

Answer 1

解：（1）如图，∵点A的坐标为（0，2），点P（m，n），
∴AP²=m²+（n-2）²，①
∵点P（m，n）是抛物线上的一个动点，
∴n=m²+1，
∴m²=4n-4，②
由①②知，AP=n．
又∵PB⊥x轴，
∴PB=n，
∴PA=PB．

（2）①过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，
所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，
此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，
所以点P的坐标为（2，2）；

②当点P在第一象限时，如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，
由（1）得：DA=DE，PA=PF
∵PA=2DA，∴PF=2DE，
∵△ODE∽△OPF，∴
设P（m，），则D（，）
∴，解得
∵点D在抛物线上，（负舍去）
此时P（，3），直线OP的解析式为；
当P在第二象限时，
同理可求得直线OP的解析式为．
综上，所求直线OP的解析式为或．
故答案为：=．
分析：（1）根据两点间的距离公式、二次函数图象上点的坐标特征推知PA=PB；
（2）过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时，AP+PC取得最小值；
（3）分类讨论：当点P位于第一象限和第二象限．先以点P位于第一象限进行分析：如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，构建相似三角形△ODE∽△OPF，则该相似三角形的对应边成比例，即．故设设P（m，），则D（，）．由（1）中的结论得到等式，据此可以求得点P的坐标为（，3），则易求直线OP的解析式为．
点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式以及轴对称--路线最短问题等知识点．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．