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精英家教网已知正方形ABCD中,AB=5,E是直线BC上的一点,连接AE,过点E作EF⊥AE,交直线CD于点F.
(1)当E点在BC边上运动时,设线段BE的长为x,线段CF的长为y,
①求y关于x的函数解析式及其定义域;
②根据①中所得y关于x的函数图象,求当BE的长为何值时,线段CF最长,并求此时CF的长;
(2)当CF的长为
65
时,求tan∠EAF的值.
分析:(1)①由题意易得△CEF∽△BAE,根据对应边成比例,可得y关于x的函数解析式,根据BC的长确定定义域即可;
②用配方法求得二次函数的最值即可;
(2)因为tan∠EAF=EF:AE,则由①的函数解析式求得BE的值,由相似三角形对应边对应成比例,即可求得EF:AE=CF:BE.
解答:解:(1)①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=90°,
∵EF⊥AE,
∴∠AEF=90°.
又∵∠CEA=∠CEF+∠AEF,∠CEA=∠BAE+∠B,
∴∠CEF=∠BAE.(1分)
又∵∠B=∠C=90°,
∴△CEF∽△BAE(1分)
CF
BE
=
CE
AB

y
x
=
5-x
5

y=-
1
5
x2+x
(0<x<5);(2分)
y=-
1
5
x2+x=-
1
5
(x-
5
2
)2+
5
4
(1分)
根据函数图象可知,抛物线y=-
1
5
(x-
5
2
)2+
5
4

开口向下,抛物线的顶点坐标是它的最高点、且x=
5
2
在函数的定义域内.
所以当BE的长为
5
2
时,CF的长最大为
5
4
(2分)精英家教网

(2)若E在边BC上,CF=y=
6
5
y=-
1
5
x2+x

-
1
5
x2+x-
6
5
=0

解得x1=2,x2=3,
当BE=2时,tan∠EAF=
3
5

当BE=3,时tan∠EAF=
2
5

若E在CB延长线上时,同理可得△CEF∽△BAE,
CF
BE
=
CE
AB
,即
y
x
=
5+x
5

∴y=
1
5
x2+x,
∵CF=y=
6
5
1
5
x2+x-
6
5
=0

解得:x1=1,x2=-6(舍去),
当BE=1时,tan∠EAF=
6
5

当E点可在BC的延长线上,CE=1,
tan∠EAF=
1
5
点评:此题综合考查了相似三角形的判定及性质的应用、二次函数的最值求法、直角三角形中锐角函数值的求法等知识点.
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②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPE与△CQP全等?
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2
+1
2
+1

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