Question

在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（5，6），点M在AB边上，且BM=5AM，连接OM，作MD⊥OM交BC于点D．
（1）求证：OM=DM；
（2）求直线MD的函数关系式；
（3）若点M在线段AB上运动（不与点A，B重合）且始终保持MD⊥OM（点D在BC上），
①设点D的横坐标为a，求a的最小值及此时点M的坐标；
②点N也是线段AB上的一个动点，点N与点M不重合，连接ON、DN时，也有DN⊥ON．设BN=n，BM=m，直接写出n与m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先求得MB的长，然后证明∠OMA=∠BDM，利用AAS即可证得△OAM≌△MBD，根据全等三角形的对应边相等证得；
（2）首先求得D，M的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（3）①首先证明△OAM∽△MBD，设M的坐标是（5，x），根据相似三角形的对应边的比相等即可得到x于a的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求解；
②6-m和6-n都是方程a=

1

5

x²-

6

5

x+6的根，利用根与系数的关系即可求得．

解答：解：（1）证明：∵点B的坐标为（5，6），
∴OA=BC=5，AB=OC=6，
∵BM=5AM，
∴BM=5，AM=1，
∴BM=OA，
∵MD⊥OM，
∴∠DMB=∠OMA=90°，
又∵∠B=90°，
∴∠DMB+∠BDM=90°，
∴∠OMA=∠BDM，
在△OAM和△MBD中，

∠OMA=∠BDM ∠B=∠MAO BM=OA

，
∴△OAM≌△MBD；
∴OM=DM；

（2）∵△OAM≌△MBD，
∴BD=AM=1，
则M的坐标是（5，1），D的坐标是（4，6），
设直线MD的函数关系式是y=kx+b，
则

5k+b=1 4k+b=6

，
解得：

k=-5 b=26

，
则函数的解析式是：y=-5x+26；

（3）①设M的坐标是（5，x），
∵在△OAM和△MBD，∠OMA=∠BDM，∠B=∠OAM，
∴△OAM∽△MBD，
∴

OA

BM

=

AM

BD

，即

5

6-x

=

x

6-a

，
解得：a=

1

5

x²-

6

5

x+6，
则当x=3时a有最小值是：

1

5

×9-

6

5

×3+6=

21

5

；
M的坐标是（5，3）；
②∵点N与点M不重合，连接ON、DN时，也有DN⊥ON，
∴6-m和6-n都是方程a=

1

5

x²-

6

5

x+6的根，
∴6-m+（6-n）=3，则m+n=9．
即n=9-m（0＜m＜6）．

点评：本题是全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，以及一元二次方程的根与系数的关系的综合应用，正确求得x于a的函数关系式是关键．