Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，BE=2，求∠F的度数．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，连结OD．欲证DE是⊙O的切线，只需证得OD⊥ED；
（2）求出AE，证△AED∽△DEB，求出DE，解直角三角形求出∠B=60°=∠ACB，根据三角形外角性质求出即可．

解答：（1）证明：如图，连接OD，AD．
∵AC是直径，
∴AD⊥BC，
又∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，BD=CD，
∵AO=OC，
∴OD∥AB，
又∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵⊙O的半径为4，AB=AC，
∴AC=AB=4+4=8，
∵BE=2，
∴AE=8-2=6，
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AED=∠BED=∠ADB=90°，
∴∠DAE+∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠DAE=∠BDE，
∵∠AED=∠BED，
∴△AED∽△DEB，
∴

AE

DE

=

DE

BE

，
∴

6

DE

=

DE

2

，
解得：DE=2

3

，
在Rt△BED中，tanB=

DE

BE

=

2 3

2

=

3

，
∴∠B=60°，
∴∠CDF=∠EDB=30°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠F=∠ACB-∠CDF=60°-30°=30°．

点评：本题考查了切线的判定，相似三角形性质和判定，解直角三角形，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，注意：要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．