Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长交CD的延长线与点G．
（1）写出图中的一对全等三角形，并证明；
（2）在正方形的边CD上用尺规作图的方法找一点F，使得AE平分∠BAF．（保留作图痕迹）

Answer 1

解：（1）△AEB≌△GEC．
理由是：∵在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，
∴∠GCE=∠B=90°，CE=BE．
∵在△AEB和△GEC中
，
∴△AEB≌△GEC（ASA）．

（2）作线段AG的中垂线交DC于点F，
∵△AEB≌△GEC，
∴∠G=∠EAB，GE=AE，
∵在△GEF和△AEF中
，
∴△GEF≌△AEF（SAS）．
∴∠G=∠EAF．
∴∠EAF=∠EAB．
即AE平分∠BAF．
分析：因为∠GCE=∠B=90°，CE=BE，∠CEG=∠BEA，所以利用ASA判定△AEB≌△GEC．
作线段AG的中垂线交DC于点F，则AE平分∠BAF．
点评：此题考查基本的作图法及全等三角形的判定方法，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS，HL（直角三角形）等，做题时要灵活运用．