观察下列方程及其解的特征:①x+$\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为x1=2.x2=$\frac{1}{2}$,②x+$\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解为x1=3.x2=$\frac{1}{3}$,③x+$\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解为x1=4.x2=$\frac{1}{4}$,-解答下列问题:(1)根据解的特征.猜� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．观察下列方程及其解的特征：
①x+$\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$；
②x+$\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解为x₁=3，x₂=$\frac{1}{3}$；
③x+$\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解为x₁=4，x₂=$\frac{1}{4}$；
…
解答下列问题：
（1）根据解的特征，猜测方程x+$\frac{1}{x}=-\frac{5}{2}$的解为x₁=-2，x₂=-$\frac{1}{2}$，并写出解答过程；
（2）直接写出关于x的分式方程2x+$\frac{1}{2x-5}=\frac{{{a^2}+5a+1}}{a}$的解为x₁=$\frac{a+5}{2}$，x₂=$\frac{1}{2a}$+$\frac{5}{2}$．．

分析（1）根据给出方程及解的特点，得到规律；首先把给出方程转化成类似方程，然后写出其解；
（2）把给出的方程化简，利用整体的思想，转化为类似方程的形式并计算它的解．

解答解：（1）方程x+$\frac{1}{x}$=-$\frac{5}{2}$的解为x₁=-2，x₂=-$\frac{1}{2}$．
因为方程x+$\frac{1}{x}$=-$\frac{5}{2}$可方程变形为x+$\frac{1}{x}$=-2-$\frac{1}{2}$，
根据此类方程解的特点，其解为x₁=-2，x₂=-$\frac{1}{2}$；
故答案为：x₁=-2，x₂=-$\frac{1}{2}$；
（2）方程整理得：2x+$\frac{1}{2x-5}$=a+5+$\frac{1}{a}$，
移项，得2x-5+$\frac{1}{2x-5}$=a+$\frac{1}{a}$
∴2x-5=a或2x-5=$\frac{1}{a}$
解得：x₁=$\frac{a+5}{2}$，x₂=$\frac{1}{2a}$+$\frac{5}{2}$．

故答案为：x₁=$\frac{a+5}{2}$，x₂=$\frac{1}{2a}$+$\frac{5}{2}$．

点评此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

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