Question

四个顶点都在正方形边上的四边形叫做正方形的内接四边形．如图，四边形EFGH是正方形ABCD的内接平行四边形，且已知正方形ABCD的边长为4．
（1）若点E、F、G、H是正方形ABCD四边中点，试求四边形EFGH的面积；
（2）设AE=x，AH=y，请探讨当x、y满足什么条件时，四边形EFGH是矩形．（要求写出过程）

Answer 1

分析：（1）直接利用相似多边形的性质，可知面积比等于相似比的平方可求得S_□EFGH=2；
（2）四边形EFGH是正方形ABCD的内接平行四边形，要成为矩形的前提是四边形EFGH必须是平行四边形，则根据平行四边形的性质可求得：△AEH≌△CGF，△AEH∽△BFE，所以根据成比例线段的关系可得到

y

x

=

4-x

4-y

，化简即可得到x=y或x+y=4，即当x、y满足x=y或x+y=4时，四边形EFGH是矩形．

解答：解：（1）∵点E、F、G、H是正方形ABCD四边中点，
∴□ABCD∽□EFGH，
∴S_□ABCD：S_□EFGH=BC²：EF²=2：1，
∴S_□EFGH=2；

（2）由题意可知△AEH≌△CGF，
∴CF=AH=y，
∵△AEH∽△BFE，
∴

AH

AE

=

BE

BF

即

y

x

=

4-x

4-y

，
化简得：（x-y）（x+y-4）=0，
∴x=y或x+y=4，
∴当x、y满足x=y或x+y=4时，四边形EFGH是矩形．

点评：主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定及中位线的定理的综合运用．