Question

【题目】已知中点分别在边、边上，连接点、点在直线同侧，连接且．

（1）点与点重合时，

①如图1，时，和的数量关系是 ；位置关系是 ；

②如图2，时，猜想和的关系，并说明理由；

（2）时，

③如图3，时，若求的长度；

④如图4，时，点分别为和的中点，若，直接写出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①AE=FC；AE⊥FC；②AE=2FC；AE⊥FC；理由见解析；（2）③FC = 6；④MN的最小值为．

【解析】

（1）①利用SAS证出△ABE≌△CDF，从而证出AE=FC，∠A=∠DCF，然后证出∠ACF=90°即可得出结论；

②根据相似三角形的判定证出△ABE∽△CDF，从而得出∠A=∠DCF，，然后证出∠ACF=90°即可得出结论；

（2）③作GD⊥BC于点D，交AC于点G；作GH⊥AB于点H，交AB于点H；DM⊥AC，利用SAS证出△EDG≌△FDC，从而得出EG=FC，令DC=a，BD=2a，根据三角形的面积公式即可求出a值，从而求出结论；

④连接MD和MC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=CM=，从而得出点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分，作CD的垂直平分线MH交BC于H，然后证出四边形NMHG为平行四边形，从而求出结论．

（1）①解：∵

∴∠ABC=∠EDF=90°，∠A＋∠BCA=90°

∴∠ABE＋∠EDC=∠CDF＋∠EDC

∴∠ABE=∠CDF

∵

∴AB=CB，DE=DF

∴△ABE≌△CDF

∴AE=FC，∠A=∠DCF

∴∠DCF＋∠BCA=90°

∴∠ACF=90°

∴AE⊥FC

故答案为：AE=FC；AE⊥FC；

②证明：AE=2FC；AE⊥FC

∵DF⊥DE

∴∠EDF=∠ABC=90°

∴∠ABE=∠CDF·

∵

∴△ABE∽△CDF

∴∠A=∠DCF，

∵∠A+∠ACB=90°

∴∠DCF+∠ACB=90°

∴∠ACF=90°；即FC⊥AE·

（2）③解：作GD⊥BC于点D，交AC于点G；作GH⊥AB于点H，交AB于点H；DM⊥AC．

∴四边形BDGH为矩形

∴DB=HG

∵∠ABC=90°，

∴∠A=∠HGA =∠ACB=45°

∴DC=DG

∵DE⊥DF

∴∠EDG=∠FDC

∴△EDG≌△FDC（SAS）

∴EG=FC

∵BD=2CD

∴令DC=a，BD=2a

∴AG=

∴EG=，MD=·

∵

∴

解得，（舍）

∴FC = EG=6

④∵，AB=10

∴BC=5

∵

∴CD=

由③易证∠ECF=90°

在Rt△EDF和Rt△ECF中，点M为EF的中点，连接MD和MC

∴DM=CM=

∴点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分，作CD的垂直平分线MH交BC于H

∴当NM⊥MH时，MN的最小，易知MN∥BC，MH∥AB，CH==

取BC的中点G，连接NG，则CG==

∴NG为△ABC的中位线

∴NG∥AB

∴MH∥NG

∴四边形NMHG为平行四边形

∴此时MN=GH=CG－CH=

即MN的最小值为．