Question

正三角形ABC，AB=2，点D、E分别在AC，BC上且DE∥AB、DE=．将△CDE绕点C顺时针旋转得到△CD′E′（如图D′，E′分别与点D，E对应），E′正好在AB上，D′E′与AC相交于点M．
（1）则∠AC E′=______；
（2）求证：四边形ABC D′是梯形；
（3）求△AD′M的面积．

Answer 1

（1）解：∵等边△ABC的边长AB=2，
∴高线=2×=，
∵△CDE旋转后点E的对应点E′正好在AB上，
∴CE′是△ABC的高，
∴∠ACE′=∠ABC=×60°=30°；

（2）证明：∵DE∥AB，
∴△CDE也是等边三角形，
∵△CDE绕点C顺时针旋转得到△CD′E′，
∴∠ACD′=60°-30°=30°，
∴∠ACE′=∠ACD′，
∴AC是D′E′的垂直平分线，
∴∠CAD′=CAE′=60°，
∴∠CAD′=∠ACB，
∴AD′∥BC，
由图可知，AB与CD′不平行，
∴四边形ABC D′是梯形；

（3）解：∵∠ACD′=30°，∠CD′E′=60°，
∴∠CMD′=80°-30°-60°=90°，
∵DE=，
∴CM=×=，D′M=D′E′=，
又∵AC=2，
∴AM=2-=，
∴△AD′M的面积=AM•D′M=××=．
分析：（1）根据等边三角形的性质求出DE等于△ABC的高，从而得到CE′是△ABC的高，再根据等腰三角形三线合一的性质解答；
（2）先求出△CDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠ACE′=∠ACD′，然后判断出AC是D′E′的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质求出∠CAD′=CAE′=60°，然后求出∠CAD′=∠ACB，再根据内错角相等，两直线平行判断出AD′∥BC，然后根据梯形的定义证明即可；
（3）先求出∠CMD′=90°，再根据等边三角形的性质求出CM、MD′的长，再根据直角三角形的面积公式列式计算即可得解．
点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，梯形的判定，以及三角形的面积的求解，熟练掌握等边三角形的性质，高线与边长的关系是解题的关键．