某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时.将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD的对角线的交点O旋转.图中的M.N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD.BC的交点. ⑴该学习小组成员意外的发现图①(三角板一直角边与OD重合)中.BN2=CD2+CN2.在图③中.CN2=BN2+CD2.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由. ⑵试探究图②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。

⑴该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN²=CD²+CN²，在图③中（三角板一边与OC重合），CN²=BN²+CD²，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由。

⑵试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。

⑶将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系（不需要证明）

【答案】

⑴见解析⑵CM²+CN²=DM²+BN²，理由见解析⑶CM²－CN²+ DM²－BN²=2

【解析】⑴选择图①证明：

连结DN

∵矩形ABCD

∴BO=DO ∠DCN=90⁰

∵ON⊥BD

∴NB=ND

∵∠DCN=90⁰

∴ND²=NC²+CD²

∴BN²=NC²+CD²(4分)

注：若选择图③，则连结AN同理可证并类比给分

⑵CM²+CN²=DM²+BN²理由如下：

延长DO交AB于E

∵矩形ABCD

∴BO=DO ∠ABC=∠DCB=90⁰

AB∥CD

∴∠ABO=∠CDO ∠BEO=∠DMO

∴△BEO≌△DMO

∴OE=OM BE=DM

∵MO⊥EM

∴NE=NM

∵∠ABC=∠DCB=90⁰

∴NE²=BE²+BN² NM²=CN²+CM²

∴CN²+CM² =BE²+BN²

即CN²+CM² =DM²+BN²(4分)

⑶CM²－CN²+ DM²－BN²=2（2分）

（1）作辅助线，连接DN，在Rt△CDN中，根据勾股定理可得：ND²=NC²+CD²，再根据ON垂直平分BD，可得：BN=DN，从而可证：BN²=NC²+CD²；

（2）作辅助线，延长MO交AB于点E，可证：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根据勾股定理和对应边相等，可证：CN²+CM²=DM²+BN²；

（3）根据正方形的性质知：OA=OB，∠OAM=∠OBN，∠AOB=∠AOM+∠BOM=90°，∠MON为直角三角板的直角，可知：∠MON=∠BOM+∠BON=90°，可得：∠AOM=∠BON，从而可证：△AOM≌△BON，AM=BN，又AB=BC，可得：BM=CN，在Rt△ADM和△BCM中，根据勾股定理：DM²=AM²+AD²=BN²+AD²，MC2=MB²+BC²=CN²+BC²，故可得：CM²-CN²+DM²-BN²=2．

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（1）该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN²=CD²+CN²，在图③中（三角板一边与OC重合），CN²=BN²+CD²，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．

（2）试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
（3）将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系．（不需要证明）

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？若存在，请求出此时DM的长；若不存在，请说明理由．

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（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

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（1）在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，有CN²+DC²=BN²成立，请说明理由．
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，请你用一个等式在横线上直接表示出探究的结论：

CN²+CM²=DM²+BN²

．证明你的结论．

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⑶将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系（不需要证明）

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