Question

1．已知关于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有两个不相等的实数根x₁和x₂，抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点分别为位于点（2，0）的两旁，若|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{2}$，则a的值为-1．

Answer 1

分析 由关于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出a的取值范围．设抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β，得出α、β是关于x的方程x²-（2a+1）x+2a-5=0的两个不相等的实数根，由抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，利用根与系数的关系确定a的取值范围；把|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{2}$变形后，利用根与系数的关系求出a的值．

解答 解：∵关于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有两个不相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2≠0}\\{△=（-2a）^{2}-4a（a+2）＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＜0，且a≠-2   ①
设抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β，
则α、β是关于x的方程x²-（2a+1）x+2a-5=0的两个不相等的实数根，
∵△=[-（2a+1）]²-4×1×（2a-5）=（2a-1）²+21＞0，
∴a为任意实数②
由根与系数关系得：α+β=2a+1，αβ=2a-5．
∵抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，
∴α＜2，β＞2，
∴（α-2）（β-2）＜0，
∴αβ-2（α+β）+4＜0，
∴2a-5-2（2a+1）+4＜0
解得：a＞-$\frac{3}{2}$③
由①、②、③得a的取值范围是-$\frac{3}{2}$＜a＜0；
∵x₁和x₂是关于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0的两个不相等的实数根
∴x₁+x₂=$\frac{2a}{a+2}$，x₁x₂=$\frac{a}{a+2}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜a＜0，
∴a+2＞0，
∴x₁x₂=$\frac{a}{a+2}$＜0．
不妨设x₁＞0，x₂＜0，
∴|x₁|+|x₂|=x₁-x₂=2$\sqrt{2}$，
∴x₁²-2x₁x₂+x₂²=8，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，
∴（$\frac{2a}{a+2}$）²-$\frac{4a}{a+2}$=8，
解这个方程，得：a₁=-4，a₂=-1，
经检验，a₁=-4，a₂=-1都是方程（$\frac{2a}{a+2}$）²-$\frac{4a}{a+2}$=8的根．
∵a=-4＜-$\frac{3}{2}$，舍去，
∴a=-1为所求．
故答案为-1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，代数式变形等知识，综合性较强．利用根的判别式以及根与系数的关系求出-$\frac{3}{2}$＜a＜0是解题的关键．