Question

（1）已知：关于x、y的方程组

y=(m+1)x-2 y=-(m+1)x2+(m-5)x+6

有两个实数解．求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若抛物线y=-（m+1）x²+（m-5）x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=（m+1）x-2的解析式；
（3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法．

Answer 1

分析：（1）可将方程组中的两个函数式联立成一个一元二次方程，根据方程组有两个实数解，那么方程的△＞0，由此可得出m的取值范围．
（2）根据抛物线的解析式可知C点的坐标为（0，6），因此可根据△ABC的面积求得AB的距离应该是12，然后设出A，B的坐标，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出m的值．也就能确定出抛物线和直线的解析式．
（3）可以平移．根据二次函数的性质，先向下平移8个单位，再向右平移2个单位可得．本题方法不唯一，正确就行．

解答：解：（1）由方程组得-（m+1）x²-6x+8=0有两个实数解．
∴△=36+32（m+1）≥0．
∴m≥-

17

8

且m≠-1；

（2）y=-（m+1）x²+（m-5）x+6，C（0，6）．
设A（x₁，0），B（x₂，0），则有

1

2

×|x₁-x₂|×6=12，|x₁-x₂|=4．
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，（

m-5

m+1

）²+

24

m+1

=16；
整理得5m²+6m-11=0．
解得m₁=1，m₂=-

11

5

（舍）．
表达式为y=-2x²-4x+6，y=2x-2；

（3）能平移，y=-2x²-4x+6=-2（x+1）²+8．
一种平移方法：向下平移8个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=-2（x-1）²．

点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及二次函数与一元二次方程的关系等知识点．