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已知二次函数y1=x2-2x-3及一次函数y2=x+m.
(1)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标;
(2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象.请你在图中画出这个新图象,并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值;
(3)当0≤x≤2时,函数y=y1+y2+(m-2)x+3的图象与x轴有两个不同公共点,求m的取值范围.

【答案】分析:(1)将二次函数的解析式化为顶点式,可求出其顶点坐标;令抛物线的解析式中,y=0,可求出它函数图象与x轴的交点坐标.
(2)画出此函数图象后,可发现,若直线与新函数有3个交点,可以有两种情况:
①直线经过原二次函数与x轴的交点A(即左边的交点),可将A点坐标代入直线的解析式中,即可求出m的值;
②原二次函数图象x轴以下部分翻折后,所得部分图象仍是二次函数,该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x轴的交点坐标相同,可据此判断出该函数的解析式,若直线与新函数图象有三个交点,那么当直线与该二次函数只有一个交点时,恰好满足这一条件,那么联立直线与该二次函数的解析式,可化为一个关于x的一元二次方程,那么该方程的判别式△=0,根据这一条件可确定m的取值.
(3)根据题意可得到新函数y的函数解析式;当0≤x≤2时,函数与x轴有两个不同的交点则有:
①根的判别式△>0;
②由于抛物线开口向上,所以当x=0和x=2时,y值应具备:y≥0;
(可结合图象进行判断,当x取0、2时,函数图象均在x轴或x轴上方.)
③抛物线的对称轴在0~2的范围内,不包括0和2;
(若取0或2,那么在0≤x≤2的区间内,函数与x轴不会有两个不同的交点.)
根据上述三个条件即可确定m的取值范围.
解答:解:(1)∵y1=x2-2x-3=(x-1)2-4(1分)
则抛物线的顶点坐标为(1,-4)(2分)
∵y1=x2-2x-3的图象与x轴相交,
∴x2-2x-3=0,(3分)
∴(x-3)(x+1)=0,
∴x=-1,或x=3,
∴抛物线与x轴相交于A(-1,0)、B(3,0),(4分)

(2)翻折后所得新图象如图所示,(5分)
平移直线y2=x+m知:直线位于l1和l2时,它与新图象有三个不同公共点,如图所示,
①当直线位于l1时,此时l1过点A(-1,0),
∴0=-1+m,即m=1;(6分)
②当直线位于l2时,
此时l2与函数y=-x2+2x+3(-1≤x≤3)的图象有一个公共点,
∴方程x+m=-x2+2x+3,
即x2-x-3+m=0有一个根,(7分)
故△=1-4(m-3)=0,
即m=;(8分)

(3)∵y=y1+y2+(m-2)x+3
=x2+(m-3)x+m,
∵当0≤x≤2时,函数y=x2+(m-3)x+m的图象与x轴有两个不同的交点,
∴m应同时满足下列三个方面的条件:
方程x2+(m-3)x+m=0的判别式△=(m-3)2-4m=(m-1)(m-9)>0,(9分)
抛物线y=x2+(m-3)x+m的对称轴满足0<<2,(10分)
当x=0时,函数值y=m≥0,
当x=2时,函数值y=3m-2≥0,(11分)

解得
∴当时,函数图象y=y1+y2+(m-2)x+3(0≤x≤2)与x轴有两个不同交点.(12分)
点评:此题考查了二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题,综合性强,难度较大.
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