Question

有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽AB=60米，水面到拱顶距离CD=18米，当洪水泛滥，水面宽MN=32米时是否需要采取紧急措施？请说明理由（当水面距拱顶3米以内时需采取紧急措施）．

Answer 1

分析：由CD为弓形AB的高，得弧AB的圆心在直线CD上，设圆心为O，连OM，OA，AB=60m，CD=18m，MN=32m，则AC=BC=30m，ME拱=NE=16m，
在Rt△OAC中，利用勾股定理求出半径，再在Rt△OME中，利用勾股定理计算出OE，即可得到水面宽MN=32米的拱高，若大于3则不需要采取紧急措施．

解答：解：不需要采取紧急措施．
理由如下：
∵CD为弓形AB的高，
∴弧AB的圆心在直线CD上，
设圆心为O，连OM，OA，如图，
AB=60m，CD=18m，MN=32m，
根据题意得，AC=BC=30m，ME=NE=16m，
设圆的半径为R，
在Rt△OAC中，OC=R-18，
∴R²=30²+（R-18）²，
解得，R=34，
在Rt△OME中，OE=

OM2-ME2

=

342-162

=30，
∴DE=OD-OE=34-30=4（m）．
∵当水面距拱顶3米以内时需采取紧急措施，
∴水面宽MN=32米时不需要采取紧急措施．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．