Question

【题目】如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=3,E是边AB上一点(不与A. B重合),F是边BC上一点(不与B. C重合).若△DEF和△BEF是相似三角形，则CF的长度为（ ）.

A.B.C.或D.或1

Answer 1

【答案】C

【解析】

分①∠DEF=90°时，设AE=x，表示出BE=4-x，然后根据△ADE和△BEF相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再根据相似三角形的邻边之比分两种情况列式求出x的值，然后求出BE，再求出BF、CF的值即可得解；②∠DFE=90°时，设CF=x，然后根据△BEF和△CFD相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再根据相似三角形的邻边之比分两种情况列式求出x的值，即可得解．

①如图1,∠DEF=90°时，设AE=x，则BE=4x，

易求△ADE∽△BEF，

∴，

即，

∵△DEF和△BEF是相似三角形，

∴△DEF和△ADE是相似三角形，

∴或,

∴或，

整理得,6x=12或 (无解)，

解得x=2，

∴BE=42=2，

，

解得BF=，

CF=；

②如图2,∠DFE=90°时，设CF=x，则BF=3x，

易求△BEF∽△CFD，

∴，

即，

∵△DEF和△BEF是相似三角形，

∴△DEF和△DCF是相似三角形，

∴或，

即或，

整理得,8x=12或=0(无解)，

解得；

综上所述,CF的值为或.

故答案为：C