Question

12．如图1，抛物线y=-x²+4x+c经过原点O，与x轴的另一个交点为A，与直线x=1交于点B，点B关于抛物线的对称轴对称的点为点C，直线x=1与x轴交于点E．
（1）请直接写出c的值，及点A、B、C的坐标：
c=0，A（4，0），B（1，3），C（3，3）；
（2）若点P为直线x=1上一动点，如图2．
①若PC⊥AC，求点P的坐标；
②若点Q在x轴上，且△PQC为等腰直角三角形，求此时点P、Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线上点的坐标特征即可求得；
（2）①如图1，作CD⊥x轴于D，则点D的坐标为（3，0），∠CBP=∠CDA=90°，通过证得△CBP∽△CDA，得出$\frac{BC}{CD}=\frac{BP}{DA}$，从而求得点P的坐标；②分三种情况分别讨论即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+4x+c经过原点O，
∴c=0，
令y=0，则-x²+4x=0，
解得x=0或x=4，
∴A（4，0），
把x=1代入y=-x²+4x得，y=3，
∴B（1，3），
∵y=-x²+4x的对称轴为x=-$\frac{4}{2×（-1）}$=2，点B关于抛物线的对称轴对称的点为点C，
∴C（3，3）；
故答案为0，（4，0），（1，3），（3，3）；
（2）①如图1，作CD⊥x轴于D，则点D的坐标为（3，0），∠CBP=∠CDA=90°．
∵∠BCD=∠PCA=90°，
∴∠BCP=∠DCA
∴△CBP∽△CDA，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{BP}{DA}$，
∴$\frac{2}{3}=\frac{BP}{1}$，
∴BP=$\frac{2}{3}$
∴PE=BE-BP=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$，
∴P的坐标为（1，$\frac{7}{3}$）；
②分三种情况：
Ⅰ．若∠CPQ=90°，PC=PQ，如图2，Q点在x轴正半轴时，
则△CBP≌△PEQ，
∴PE=CB=2，EQ=BP=1，
∴P（1，2），Q（2，0），
当Q点在x轴负半轴时，则△CBP≌△PEQ，
∴PE=CB=2，QE=BP=5，故QO=4
∴P（1．-2），Q（-4，0）；
Ⅱ．若∠PCQ=90°，CP=CQ，如图3，
此时，△CBP≌△CDQ，
∴CB=CD．又∵CB=2，CD=3，∴CB≠CD，
∴此种情况不成立．
Ⅲ．若∠CQP=90°，QC=QP，如图4．
此时，△QEP≌△CDQ，
∴QE=CD=3，PE=QD=1，
∴P（1，-1），Q（4，0）．
综上所述，
P（1，2），Q（2，0）或P（1，2），Q（2，0）或P（1，-1），Q（4，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判断和性质，三角形全等的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．