Question

已知：关于x的一元二次方程x²+（2a-1）x+a²=0
（1）请你为a取一个合适的整数，使得方程有两个不相等的实数根，并作简要说明；
（2）若x₁，x₂是方程的两个实数根，且（x₁+2）（x₂+2）=11，求a的值？

Answer 1

分析：（1）由于方程有两个不相等的实数根，并且a取整数，答案不唯一，例如a=0即可；
（2）首先利用根与系数的关系可以得到两根之和和两根之积，然后把（x₁+2）（x₂+2）=11中的括号打开，把前面的等式代入即可求解．

解答：解：（1）∵使方程有两个不相等的实数根，a取整数，
∴答案不唯一，
但a满足△=（2a-1）²-4a²＞0，
即a＜

1

4

，
∴当a=0时，方程变为x²-x=0，
方程的根为x=0或x=1；

（2）∵x₁，x₂是方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=-（2a-1），x₁•x₂=a²，
而（x₁+2）（x₂+2）=11，
∴2（x₁+x₂）+x₁•x₂+4=11，
∴a²-4a-5=0，
∴a=5或a=-1．
当a=5原方程没有实数根，
∴a=-1．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．