Question

如图，在△ABC中，AM是高，D，G分别在AB，AC上，E，F在BC上，四边形DEFG是矩形，AM=6，BC=12，若设矩形的边GF=x，DG=y．
（1）请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）当x取何值时，矩形DEFG变为正方形？并求出此时S_△ADG：S_△ABC的值．

Answer 1

解：（1）根据题意得AN=AM-MN=6-x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC=AN：AM，即y：12=（x-6）：6，
∴y=2x-12（0＜x＜6）；

（2）∵当DG=GF时，四边形DEFG是正方形，
∴y=x，即2x-12=x，
∴x=4，
∴y=4，
∵△ADG∽△ABC，
∴S_△ADG：S_△ABC=DG²：BC²=16：144=1：9．
分析：（1）先用x表示AN=6-x，易得△ADG∽△ABC，则DG：BC=AN：AM，于是可得到y=2x-12（0＜x＜6）；
（2）由于四边形DEFG是矩形，则当DG=GF时，四边形DEFG是正方形，所以y=x，即2x-12=x，可解得x=y=4，然后根据三角形相似的性质得到S_△ADG：S_△ABC=DG²：BC²=16：144=1：9．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了矩形的性质以及正方形的判定方法．