Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q同时出发并运动了t秒．
（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可通过构建直角三角形来求解．过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，很显然AE=BF，四边形DQPE和QCFP是矩形，那么就能用等腰梯形的上下底的差求出AE，BF的长，然后可用时间表示出CQ，DQ，AP的长，由于DQ=EP，因此可用AP=AE+EP求出时间的值．
（2）先要求出梯形的面积，那么求出高就是关键，在直角三角形AED中，可用勾股定理求出高，也就求出了四边形QPBC的面积，由于Q在CD和DA上运动，因此要分Q在CD上，和Q在AD上两种情况进行讨论．
当Q在CD上时，可用时间t表示出CQ和BP的长，然后根据计算出的高和四边形CQPB的面积，来求出时间t的值，要注意当Q在CD上时，t应该在0-2秒内，可用这个取值范围来判定求出的值是否符合题意．
当Q在AD上时，四边形QPBC是个不规则的四边形，那么根据他的面积是梯形的一半，那么四边形QPBC的面积就应该等于三角形CDQ和AQP的面积和，那么就需要作出这两个三角形的高以便求出面积，过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H．求出QH和QG就是解题的关键．
可以用时间t先表示出CQ，AP，然后根据CD+DQ=CQ进而表示出QD和AQ，那么我们可在直角三角形AQG中根据∠A的度数求出QG，然后根据求出的梯形的高得出QH的值，这样就能用含t的式子表示出三角形QDC和AQP的面积，也就是四边形QPBC的面积，根据求出的四边形的面积可得出t的值，要注意Q在AD上时，取值范围是2-4秒，因此可根据这个取值范围判定求出的t是否符合题意．

解答：解：（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE=CF．
又∵AD=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF，AE=BF．
又CD=2cm，AB=8cm，
∴EF=CD=2cm，
AE=BF=

1

2

（8-2）=3（cm）．
若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形．
∵CQ=t，
∴DQ=EP=2-t，
∵AP=AE+EP，
∴2t=3+2-t，
∴t=

5

3

．

（2）在Rt△ADE中，DE=

36-9

=3

3

（cm），
S_梯形ABCD=

1

2

（8+2）×3

3

=15

3

（cm²）．
当S_{四边形PBCQ}=

1

2

S_梯形ABCD时，
①如图2，若点Q在CD上，即0≤t＜2，
则CQ=t，BP=8-2t．
S_{四边形PBCQ}=

1

2

（t+8-2t）×3

3

=

15 3

2

，
解之得t=3（舍去）．
②如图3，若点Q在AD上，即2≤t＜4．
过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H．
由图1知，sin∠ADE=AE：AD=

1

2

，
∴∠ADE=30°，
则∠A=60度．在Rt△AQG中，AQ=8-t，QG=AQ•sin60°=

3 (8-t)

2

，
在Rt△QDH中，∠QDH=60°，DQ=t-2，QH=DQ•sin60°=

3 (t-2)

2

．
由题意知，S_{四边形PBCQ}=S_△APQ+S_△CDQ=

1

2

×2t×

3 (8-t)

2

+

1

2

×2×

3 (t-2)

2

=

15 3

2

，
即t²-9t+17=0，解之得t1=

9+ 13

2

（不合题意，舍去），t2=

9- 13

2

．
答：存在t=

9- 13

2

，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．

点评：本题要根据Q点的位置来判断四边形CQPB的形状，进而选择合适的解题方法．本题中通过辅助线作出梯形的高，构建出直角三角形是解题的关键．