Question

如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形，并说明理由．
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形，并说明理由．
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形，不要说明理由．

Answer 1

考点：正方形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定,菱形的判定,矩形的判定

专题：几何图形问题,探究型

分析：（1）可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；
（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
（3）若四边形ADEF是菱形，则AD=AF，所以AB=AC，则△ABC是等腰三角形；
（4）若四边形ADEF是正方形，则AD=AF，且∠DAF=90°，所以△ABC是等腰三角形，且∠BAC=150°．

解答：证明：（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC与△DBE中，

AB=BD ∠DBE=∠ABC BC=BE

，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

（3）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴当AD=AF时，四边形ADEF是菱形，
又∵AD=AB，AF=AC，
∴AB=AC时，四边形ADEF是菱形；

（4）综合（2）、（2）知，当△ABC是等腰三角形，且∠BAC=150°时，四边形ADEF是正方形．

点评：本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°、平行四边形和矩形的判定等知识．难度较大．