Question

13．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，AE=1，点Q是边AD上的动点，过点Q作QH⊥BC于H，在BC上H点左侧取点P，使得PH=1，若设BP=x，EQ²=y．
（1）若∠AQE=30°，求出△EPQ的面积；
（2）求y关于x的关系式，并写出x的取值范围；
（3）若△PEQ为等腰三角形，求x的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知求出AQ的长，再分别表示出△AEQ、△QPH、△EBP的面积进而得出答案；
（2）求y关于x的函数解析式，可以转化到Rt△AEQ中，求出BP与AQ的关系，根据勾股定理得出；
（3）探索△PEQ是否可能成为等腰三角形，根据等腰三角形的判定分别列出函数关系式，求出x的值．

解答 解：（1）∵∠AQE=30°，AE=1，∠A=90°，
∴AQ=$\sqrt{3}$，BP=$\sqrt{3}$-1，BE=2，
∴S_△AEQ=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵QH=AB=3，PH=1，
∴S_△QPH=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$，
∴S_△EBP=$\frac{1}{2}$×BE×BP=$\frac{1}{2}$×2×（$\sqrt{3}$-1）=$\sqrt{3}$-1，
∴△EPQ的面积为：
S_矩形ABHQ-S_△AEQ-S_△QPH-S_△EBP
=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$-（$\sqrt{3}$-1）
=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$；

（2）∵BP=x，EQ²=y，PH=AE=1，
∴AQ=BH=BP+PH=x+1，
在Rt△AEQ中，y=EQ²=AE²+AQ²=1²+（x+1）²，
∴函数解析式为y=x²+2x+2，x的取值范围为：0＜x≤2．

（3）△PEQ可能成为等腰三角形，
∵PH=1，HQ=AB=3，
∴PQ=$\sqrt{10}$，
∵BE=2，BP=x，
∴EP=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，EQ=$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$，
（1）当x满足$\sqrt{{x}^{2}+4}$=$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$且0＜x≤2时，EP=EQ，
解得x=1；
（2）当x满足$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$=$\sqrt{10}$且0＜x≤2时，EQ=PQ，
解得x=2；
（3）当x满足$\sqrt{{x}^{2}+4}$=$\sqrt{10}$且0＜x≤2时，EP=PQ．
解方程得x=$\sqrt{6}$，
x=$\sqrt{6}$不合题意，舍去，
综上所述，当x=1或x=2时，△PEQ能成为等腰三角形．

点评 此题主要考查了四边形综合以及等腰三角形的性质和勾股定理等知识，正确利用分类讨论得出△PEQ可能成为等腰三角形情况是解题关键．