Question

EF为一河堤的迎水斜坡面，AB是河对岸的一棵古树．某人沿着斜坡往下走．当他站在D处时，测得∠BDE=105°，∠ADE=30°，继续往下走了5米到达C处，测得∠ACE=60°，∠BCE=120°．
（1）求证：△BAC≌△BDC．
（2）试求树高AB约为多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：tan60°≈1.7，tan75°≈3.7，sin75°≈0.97）

Answer 1

分析：（1）根据∠ACE=60°，∠ADE=30°，得到∠DAC=∠ACE-∠ADE=60°-30°=30°，从而利用∠DAC=∠ADC，得到AC=CD，再根据∠ACB=180°-∠ACE-∠BCD=180°-60°-60°=60°，然后在△BAC和△BDC中利用SAS证明三角形全等即可．
（2）过B作BM⊥EF于M，设BM=x，在Rt△BCM中，∠BCM=60°，表示出CM的长，然后在Rt△BDM中，表示出DM的长，利用CM-DM=5，得到方程求得x的值即可．

解答：（1）证明：∵∠ACE=60°，∠ADE=30°，
∴∠DAC=∠ACE-∠ADE=60°-30°=30°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴AC=CD．
又∠ACB=180°-∠ACE-∠BCD=180°-60°-60°=60°
在△BAC和△BDC中

AC=CD ∠BCA=∠BCD BC=BC

∴△BAC≌△BDC；

（2）解：过B作BM⊥EF于M，设BM=x
在Rt△BCM中，∠BCM=60°，
∴CM=

x

tan60°

=

x

3

≈

x

1.7

在Rt△BDM中，∠BDF=180°-105°=75°，
∴DM=

x

tan75°

≈

x

3.7

∵CD=5，
∴CM-DM=5，
即

x

1.7

-

x

3.7

=5
解得x≈15.7
在Rt△BDM中，BD=

x

sin75°

=

15.7

0.97

≈16m
答：树高AB约为16米．

点评：本题考查了坡度坡角问题，解决此类问题的关键是将已知角转化为直角三角形的内角来解直角三角形．