Question

【题目】如图，在中，，，，射线从与射线重合的位置开始，绕点按顺时针方向旋转，与射线重合时就停止旋转，射线与线段相交于点，点是线段的中点．

（1）求线段的长；

（2）①当点与点、点不重合时，过点作于点，于点，连接，，在射线旋转的过程中，的大小是否发生变化？若不变，求的度数；若变化，请说明理由．

②在①的条件下，连接，直接写出面积的最小值____________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不变，∠EMF=90°，理由见解析；（3）

【解析】

（1）如下图，设AN=x，在Rt△CAN中，利用勾股定理可求得x的值，然后再Rt△CNB中，可求得CB的长；

（2）①如下图，△DEB和△DFB是直角三角形，点M是BD的中点，可得到EM=DM=MB=FM，利用角度转化可得到∠FME=90°；

②可推导出，则只需要BD最小即可，即BD⊥AC时，△EMF的面积最小．

（1）如下图，过点C作AB的垂线，交AB于点N

∵

∴设AN=x，则CN=3x

∵

∴在Rt△CAN中，

解得：x=1

∴CN=3，AB=AN+NB=4

∵∠ABC=45°

∴NB=CN=3

∴在Rt△CNB中，CB=3；

（2）①不变，∠EMF=90°

如下图

∵DE⊥AB，DF⊥BC

∴△DEB和△DFB是直角三角形

∵点M是DB的中点

∴EM=DM=MB，FM=DM=MB

∴∠2=∠3，∠1=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8

∵∠ABC=45°

∴∠1+∠2=45°，∴∠3+∠4=45°

∵∠DEB=∠DFB=90°

∴∠5+∠8=180°－45°=135°

∴∠5+∠6+∠7+∠8=270°

∴在四边形EMFD中，∠EMF=360°－270°=90°；

②如下图

∵∠EFM=0°，EM=FM=DM=MB

∴

要使最小，则只需要BD最小即可

故BD⊥AC，图形如下

∵

∴设AD=y，则DB=3y

∵AB=4

∴在Rt△ADB中，

解得：y=

∴BD=3y=

∴=．