Question

3．如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为（$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 首先设点D的坐标是（m，$\frac{3}{m}$），点E的坐标是（n，$\frac{3}{n}$），应用待定系数法求出直线AB的解析式是多少；然后根据△BDE∽△BCA，可得∠BDE=∠BCA=90°，推得直线y=x与直线DE垂直，再根据点D、E关于直线y=x对称，推得mn=3；最后根据点D在直线AB上，求出点n的值是多少，即可判断出点E的坐标是多少．

解答 解：如图1，

∵点D、E是反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上的点，
∴设点D的坐标是（m，$\frac{3}{m}$），点E的坐标是（n，$\frac{3}{n}$），
又∵∠BCA=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，
∴C（n，0），B（n，2$\sqrt{2}$），A（n-2$\sqrt{2}$，0），
设直线AB的解析式是：y=ax+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{a（n-2\sqrt{2}）+b=0}\\{an+b=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2\sqrt{2}-n}\end{array}\right.$
∴直线AB的解析式是：y=x+2$\sqrt{2}$-n．
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直线y=x与直线DE垂直，
∴点D、E关于直线y=x对称，
∴$\frac{m+n}{2}$=$\frac{\frac{3}{m}+\frac{3}{n}}{2}$，
∴mn=3，或m+n=0（舍去），
又∵点D在直线AB上，
∴$\frac{3}{m}$=m+2$\sqrt{2}$-n，mn=3，
整理，可得
2n²-2$\sqrt{2}$n-3=0，
解得n=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$或n=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
∴点E的坐标是（$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
故答案为：（$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 （1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题还考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．