Question

11．已知点A（3，-1）在抛物线y=x²-2mx+m上，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求出符合条件的直线解析式，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 存在．首先求出抛物线解析式，再求出点B坐标，设过点B的直线为y=kx-1-k，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+2}\\{y=kx-1-k}\end{array}\right.$消去y得到x²-（4+k）x+3+k=0，由题意△=0，列出关于k的方程即可．

解答 解：存在．把点A（3，-1）代入抛物线y=x²-2mx+m得到，-1=9-6m+m，解得m=2，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+2，
∴对称轴x=2，
∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称，
∴点B坐标为（1，-1），
设过点B的直线为y=kx+b，
∴-1=k+b，
∴b=-1-k
∴直线的解析式为y=kx-1-k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+2}\\{y=kx-1-k}\end{array}\right.$消去y得到x²-（4+k）x+3+k=0，由题意△=0，
∴（4+k）²-4（3+k）=0，
解得k=-2．
∴符合条件的直线解析式为y=-2x+1．

点评 本题考查二次函数的性质、一次函数、方程组、根的判别式等知识，解题的关键是灵活这些知识解决问题，学会转化的思想解决问题，属于中考常考题型．