Question

如图：在□ABCD中，对角线与BD交于点O,过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F， EF⊥AC，连结AF、CE.  

（1）求证：OE=OF
（2）请判断四边形AECF是什么特殊四边形，请证明你的结论；
（3）若∠EAF=60°，AE=6，求四边形AECF的面积.

Answer 1

（1）见解析（2）菱形，证明见解析（3）

(1)证明:在□ABCD中，对角线与BD交于点O,得
AE∥CF, OA=OC，∠AOE=∠COF,
∴∠OAE=∠OCF
∴△AOE≌△COF （ASA）
∴ OE=OF--------------3分
（2）四边形AECF是菱形。理由如下：
∵OE=OF，OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形。（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
又 ∵EF⊥AC
∴□。（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）-----3分
（3）在菱形AECF中，EF⊥AC，∠EAF=60°,AE=6
∴ ∠EAC=30°(菱形的对角线平分每组对角) ，∠AOE=90°
∴ OE=(直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)
在Rt△AOE中，由勾股定理，得AO==----2分
∴EF=2OE=6，AC=2AO=
菱形AECF==----2分
（1）在平行四边形，可得一组内错角，一组对顶角分别相等，又有一边相等，则证明△AOE≌△COF即可．
（2）证明AECF是平行四边形，然后于EF⊥AC得出AECF是菱形；
（3）先求出AE、AO的长，从而得出EF、AC的长，最后求出菱形AECF的面积。