Question

19．如图，在Rt△ABC中，CA=CB=2，M为CA的中点，在AB上存在一点P，连接PC、PM，则△PMC周长的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 作点C关于直线AB的对称点D，连接DM交AB于点P，此时△PCM周长最小，根据△PCM周长=PC+PM+CM=PD+PM+CM，求出DM即可解决问题．

解答 解：作点C关于直线AB的对称点D，连接DM交AB于点P，此时△PCM周长最小．
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠B=∠BAD=45°，
在RT△ADM中，∵∠DAM=90°，AD=2，AM=1，
∴DM=$\sqrt{A{D}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴此时△PCM的周长为PC+PM+CM=PM+PD+CM=$\sqrt{5}$+1．
故选C．

点评 本题考查轴对称-最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称找到点P位置，属于中考常考题型．