Question

12、已知正整数a满足192|a³+191，且a＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．

Answer 1

分析：根据已知条件得192|a³-1.192=3×2⁶，因为a（a+1）+1是奇数，则192|a-1，于是可得a=192k+1．又0＜a＜2009，所以k=0，1，10．因此，可求得满足条件的所有可能的正整数a的和．

解答：解：由192|a³+191，可得192|a³-1.192=3×2⁶，
且a³-1=（a-1）[a（a+1）+1]=（a-1）a（a+1）+（a-1）． （5分）
因为a（a+1）+1是奇数，
所以2⁶|a³-1等价于2⁶|a-1，
又因为3|（a-1）a（a+1），
所以3|a³-1等价于3|a-1．
因此有192|a-1，于是可得a=192k+1． （15分）
又0＜a＜2009，所以k=0，1，，10．
因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为
11+192（1+2++10）=10571． （20分）

点评：本题考查了数的整除性问题，是中档题，难度不大．