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    13．已知矩形ABCD，AB=4，BD=2．现有另一个与矩形ABCD相似矩形EFGH，相似比为2：1．最初矩形EFGH的GH边放置在∠BCD的平分线处（如图1），现将矩形EFGH 沿着FG作一条直线l，再连接AH、BH、DH、BE，设BC与EH的交点为M，CD与 GH的交点为N（若没有交点则不计），回答下列问题．
    （1）如图1，当矩形ABCD矩形EFGH都不动时，求出矩形ABCD与矩形EFGH重合部分三角形的面积．
    （2）如图2，现矩形ABCD不动，矩形EFGH沿直线l开始出发，以1m/s的速度移动．设移动时间为t，矩形ABCD与矩形EFGH重合部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并写出相应的取值范围，并且求出当t为多少时，S为最大值？
    （3）如图3，矩形ABCD仍然不动，矩形EFGH运动一段时间后停止在某一个点，并且此时△CEH为等腰三角形，这时，在△AHC中，AH=HC成立吗？请说明理由，并求出此时S和t的值．

    分析 （1）首先根据相似和矩形的性质，判断出△HMD为等腰直角三角形，然后再求出矩形ABCD与矩形EFGH重合部分三角形的面积即可；
    （2）作过点D作DT⊥EN于点T，再根据矩形性质得出函数关系式，可求出最大值；
    （3）首先连接AE，交CH与点Q，连接HD，则AC=CE=EH=2，所以ACEH是等腰梯形，进而判断出△AHC、△BHD是等腰三角形，所以AH=HC成立；然后根据（2）求出的S关于t的函数关系式，求出此时S和t的值各是多少即可．

    解答 解：（1）如图1，
    ∵HD平分∠BDC，
    ∴∠HDM=∠HDB=45°，
    ∵矩形ABCD相似于矩形EFGH，相似比为2：1，
    ∴HD=1，EH=2，
    ∵四边形EFHD为矩形，
    ∴∠MDH=90°，
    ∴△HMD为等腰直角三角形，即HD=HM=1，
    ∴△MHD面积=$\frac{1}{2}$．
    （2）如图2，过点D作DT⊥EN于点T，
    由题意和（1）可得：
    ∠BDG=∠CDF=45°
    ∵DG=t，∠DGN=90°，
    ∴NG=t，
    ∴HN=1-t，
    ∵∠EHG=∠HGF=90°，DT⊥EH，
    ∴四边形DTNG为矩形，
    ∴DT=1
    ∵∠HDG=45°，
    ∴∠HDT=45°，
    ∴S△MDT=$\frac{1}{2}$，S梯形=$\frac{1}{2}$（HN+DT）•HT，
    ∴S重合=S△MDT+S梯形THND，
    ∵HN=1-t，DT=1，HT=DG=t，
    ∴S=-t2+2t+$\frac{1}{2}$（0＜t＜3），
    当t=1时，S为最大值．
    （3）如图3，连接AE，交CH与点Q，连接HD，
    则AC=CE=EH=2，
    ∴四边形ACEH是等腰梯形，
    ∴∠CAE=∠CEA，∠CHE=∠HCE，
    又∵∠HAE=∠CEA，
    ∴∠HAE=∠CAE，
    又∵∠AHC=∠HCE，
    ∴∠AHC=∠CHE，
    ∴∠HAC=∠HCA，
    ∴AH=CH，
    在△ACH中，
    2∠ACH+∠AHC=180°，
    在△CEH中，
    2∠CHE+∠CEH=180°，
    ∵∠CEH=∠AEH+∠CEA=∠ACH+∠CHE，
    ∴∠ACH+3∠CHE=180°，
    又∵∠AHC=∠CHE，
    ∴∠AHC=36°，∠ACH=72°，
    则∠CAH=72°，
    ∴AH=HC．

    点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合方法的应用．
    （2）此题还考查了相似的性质和应用，以及矩形的性质和应用，要熟练掌握．
    （3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．

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    （3）如图4，在△ABC和△BDE中，∠ACB=∠DEB=90°，∠ABC=∠DBE=α，点M仍为AD的中点，现将△BDE绕点B逆时针旋转β（0°＜β＜90°），请探究MC与ME的数量关系和∠CME的大小，并给予证明．

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    （2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）
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    18．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”
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