Question

已知如图：AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下四个结论：（1）∠EBC=22.5°（2）BD=DC；（3）

EC

AE

=

2

-1；（4）AE=2DE．其中错误结论的个数是（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及同弧所对的圆周角相等可求得∠EBC的度数；
（2）连接AD，由于AB=AC，∠ADB=90°，利用等腰三角形三线合一定理可知BD=CD；
（3）在等腰三角形ABC中，AB=AC；在等腰直角三角形ABE中，AB=

2

AE，所以EC=

2

AE-AE=（

2

-1）AE，从而求得

EC

AE

的值；
（4）根据圆周角、弧、弦间的关系解答．

解答：解：连接AD．
（1）∵AB是直径，
∴AD⊥BC；
又∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠EAD=

1

2

∠BAC=22.5°；
而∠EBC=∠EAD（同弧所对的圆周角相等），
∴∠EBC=22.5°，
故本选项正确；

（2）∵AB是直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵AB=AC，
∴BD=CD，
故本选项正确；

（3）在等腰直角三角形ABE中，AB=

2

AE，
∴EC=

2

AE-AE=（

2

-1）AE，
∴

EC

AE

=

2

-1；
故本选项正确；

（4）∵∠ADE=∠ABE=45°（同弧所对的圆周角相等），∠DAE=∠DBE=22.5°（由（1）知），
∴∠ADE=2∠DAE，
∴

AE

=2

DE

，
故本选项错误．
综上所述，其中错误的结论有1个．
故选B．

点评：本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是求出相应角的度数．