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如图,已知⊙O的弦AB垂直于直径CD,垂足为F,点E在AB上,且EA=EC,延长EC到点P,连接PB.使PB=PE.
(1)在以下5个结论中:一定成立的是______(只需将结论的代号填人题中的横线上)
=;②OF=CF;③BF=AF;④AC2=AE•AB;⑤PB是⊙O的切线.
(2)若⊙O的半径为8cm.AE:EF=2:1.求弓形ACB的面积.

【答案】分析:(1)连接BC,OB,OA,根据垂径定理即可判断①②③;证△ACE和△ACB相似推出比例式,即可判断④;证出OB⊥PB,根据切线的判定定理判断⑤即可;
(2)弓形ACB的面积等于扇形OAB的面积减去△AOB的面积,设AE=2a,EF=a,则CE=2a,在Rt△OBF中,根据勾股定理求出a,根据含30度角的直角三角形求出圆心角AOB的度数,根据扇形的面积和三角形的面积求出即可.
解答:解:(1)连接BC,OB,OA,
∵AB⊥CD,CD是圆的直径,
∴BC=AC,弧AC=弧BC,BF=AF,∴①③正确;
∴∠CAB=∠CBA,
∵CE=AE,
∴∠CAB=∠ACE=∠CBA,
∵∠CAB=∠CAB,
∴△CAE∽△BAC,
=
∴AC2=AE•AB,∴④正确;
∵PB=PE,
∴∠PBA=∠PEB,
∵∠PEB=∠CAB+∠ECA=2∠CAB=2∠CBF,
∴∠PBC=∠CBE,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OBC+∠CBP=∠OCB+∠CBA=90°,
即OB⊥PB,
∵OB是圆O的半径,
∴PB是圆O的切线,∴⑤正确;
根据已知条件不能推出CF=OF,∴②错误;
故答案为:①③④⑤.

(2)设AE=2a,EF=a,则CE=2a,由勾股定理得:CF=a,
BF=AF=3a,
在Rt△OBF中,由勾股定理得:OB2=BF2+OF2
∴82=(3a)2+
∴a=
∴OF=8-×=4,
∵OB=8,
∴∠FBO=30°,
∴∠BOA=2×60°=120°,
∴弓形ACB的面积等于扇形OAB的面积减去△AOB的面积,
即:-×6××4=(π-16)(cm2),
答:弓形ACB的面积是π-16cm2
点评:本题综合考查了等腰三角形的性质,勾股定理,相似三角形的性质和判定,垂径定理,含30度角的直角三角形性质,三角形的面积,扇形的面积,切线的判定等知识点,此题综合性比较强,有一定的难度,对学生有较高的要求,但题型较好.
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精英家教网如图,已知⊙O的弦CD垂直于直径AB,点E在CD上,且EC=EB.
(1)求证:△CEB∽△CBD;
(2)若CE=3,CB=5,求DE的长.

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23、如图,已知⊙O的弦AB垂直于直径CD,垂足为F,连接CA、CB.
(1)求证:∠CAB=∠CBA;
(2)在AB上有一点E,延长EC到点P,连接PB,若EA=EC,PB=PE,求证:PB是⊙O的切线.

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精英家教网如图,已知⊙O的弦AB、CD相交于点E,
AC
的度数为60°,
BD
的度数为100°,则∠AEC等于(  )
A、60°B、100°
C、80°D、130°

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精英家教网如图,已知⊙O的弦AB、CD相交于点P,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,EA切⊙O于点A,AE与CD的延长线交于点E,若AE=2
5
cm,则PE的长为(  )
A、4cm
B、3cm
C、5cm
D、
2
cm

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如图,已知⊙O的弦AC=2cm,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是
1
2
π-1(cm2
1
2
π-1(cm2

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