如图.在平行四边形ABCD中.AB=5.BC=10.F为AD的中点.CE⊥AB于E.设∠ABC=α(1)当α=60°时.求CE的长,(2)①在图1中.60°＜α＜90°.取BC中点G.连接FG.CF.∠EFD=k∠DCF.试猜想k的值.并证明你的猜想,②在图2中.0°＜α＜60°.作CE⊥AB交BA的延长线于E.取BC中点G.连接FG.CF.直接写出∠EFD与∠DCF的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（0°＜α＜90°）

（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）①在图1中，60°＜α＜90°，取BC中点G，连接FG，CF，∠EFD=k∠DCF（k为正整数），试猜想k的值，并证明你的猜想；
②在图2中，0°＜α＜60°，作CE⊥AB交BA的延长线于E，取BC中点G，连接FG，CF，直接写出∠EFD与∠DCF的等量关系．
（3）在图1中，当60°＜α＜90°时，当BE为多少时，CE²-CF²取最大，最大值为多少？

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：（1）求出BE，根据勾股定理求出CE即可；
（2）①根据平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质推出∠DCF=∠DFC=∠CFG=∠EFG，即可得出答案；②根据平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质推出∠DCF=∠DFC=∠CFG=∠EFG，即可得出答案；
（3）求出BN=

BE，根据勾股定理求出FM、AN、求出CM、根据勾股定理求出CE、CF，代入得出二次函数的解析式，求出最值即可．

解答：解：（1）∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∵∠B=60°，BC=10，
∴BE=

BC=5，
由勾股定理得：CE=

102-52

；

（2）①k=3，
证明：如图，∵AB=5，BC=10，四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10，DC=AB=5，AD∥BC，
∵F、G分别为AD、BC的中点，
∴DF=DC=CG=AF=BG=5，DF∥CG，
∴四边形ABGF和四边形CDFG是平行四边形，
∴FG∥AB∥CD，FG=CD=AB，
∵CE⊥AB，
∴FG⊥CE，
∵G为AB中点，
∴EQ=CQ，
∴EF=FC，
∴∠EFQ=∠CFG，
∵DF=DC=5，
∴∠DFC=∠DCF，
∵FG∥CD，
∴∠CFG=∠DCF，
即∠EFD=3∠DCF，

∴k=3；
②

由①知：∠CFG=∠EFG=∠DCF=∠DFC，
∵∠EFD+∠EFG+∠CFG+∠DFC=360°，
∴∠EFD+3∠DCF=360°；

（3）如图3，过A作AN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M，
∵AD∥BC，
∴AN=FM，AF=MN=5，
∵AN⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ANB=∠CEB=90°
∵∠B=∠B，
∴△ANB∽△CEB，
∴

，
∴BN=

BE=

x，
在Rt△ANB中，由勾股定理得：AN²=FM²=5²-（

x）²，
CM=BC-AF-BN=10-5-

x=5-

x，
∴CE²-CF²=（10²-x²）-[5²-（

x）²+（5-

x）²]=-x²+5x+50，
当x=-

2×(-1)

时，CE²-CF²取最大值，是

225

．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线，相似三角形的性质和判定，二次函数的最值，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，难度偏大．

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（1）通过计算，探索规律：
15²=225可写成100×1×（1+1）+25，
25²=625可写成100×2×（2+1）+25，
35²=1225可写成100×3×（3+1）+25，
…
75²=5625可写成

85²=7225可写成

（2）依据（1）的结果，归纳猜想得（10n+5）²=

；
（3）根据上面的归纳、猜想，请你算出2015²=

．

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x-2

x-1

÷(x+1-

x-1

)，其中x=