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    观察下列各等式：0＜a＜1，
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    3×5
    =
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )    ，…根据你发现的规律，计算：
    1
    1×4
    +
    1
    4×7
    +
    1
    7×10
    +…+
    1
    (3n-2)(3n+1)
    =
     
    （n为正整数）．
    分析：由已知规律，可知原式=
    1
    3
    （1-
    1
    4
    +
    1
    4
    -
    1
    7
    +…+
    1
    3n-2
    -
    1
    3n+1
    ）=
    1
    3
    （1-
    1
    3n+1
    ）=
    n
    3n+1
    ．
    解答：解：∵
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    3×5
    =
    1
    2
    （
    1
    3
    -
    1
    5
    ），
    所以
    1
    1×4
    =
    1
    3
    （1-
    1
    4
    ），
    1
    4×7
    =
    1
    3
    （
    1
    4
    -
    1
    7
    ），…，
    1
    (3n-2)(3n+1)
    =
    1
    3
    （
    1
    3n-2
    -
    1
    3n+1
    ），
    ∴原式=
    1
    3
    （1-
    1
    4
    +
    1
    4
    -
    1
    7
    +…+
    1
    3n-2
    -
    1
    3n+1
    ）=
    1
    3
    （1-
    1
    3n+1
    ）=
    n
    3n+1
    ．
    点评：找得到规律：若左边分母中的两个因数的差是m，则右边应乘以
    1
    m
    （m为整数）．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察下列各等式的数字特征：
    5
    3
    -
    5
    8
    =
    5
    3
    ×
    5
    8
    ，
    9
    2
    -
    9
    11
    =
    9
    2
    ×
    9
    11
    ，
    10
    7
    -
    10
    17
    =
    10
    7
    ×
    10
    17
    ，…，将你所发现的规律用含字母a，b的等式表示出来：
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察下列各等式，并回答问题：
    1
    1×2
    =1-
    1
    2
    ；
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ；
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    ；
    1
    4×5
    =
    1
    4
    -
    1
    5
    ；…
    （1）填空：
    1
    n(n+1)
    =
     
    （n是整数）；
    （2）计算：
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +
    1
    4×5
    +…+
    1
    8×9
    .
    解：原式=(1-
    1
    2
    )+(
    1
    2
    -
    1
    3
    )+(
    1
    3
    -
    1
    4
    )+…+(
    1
    8
    -
    1
    9
    )    =1-
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    4
    +…+
    1
    8
    -
    1
    9
    =1-
    1
    9
    =
    8
    9

    请同学们观察上面解题过程后计算：
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +
    1
    4×5
    +…+
    1
    2009×2010
    .

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察下列各等式：
    1
    2
    +(-1)=
    1
    2
    ÷(-1)，-4+2=(-4)÷2，(-
    25
    4
    )+5=(-
    25
    4
    )÷5，…
    （1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个数字的
    和
    和
    等于这两个数的
    商
    商
    ；如果等号左边的第一个数用x表示，第二个数用y表示，那么这些等式的共同特点可用含x，y的等式表示为
    x+y=
    x
    y
    x+y=
    x
    y
    ．
    （2）请你再找出一组满足以上特征的两个有理数，并写成等式的形式：
    （-
    9
    2
    ）+3=（-
    9
    2
    ）÷3
    （-
    9
    2
    ）+3=（-
    9
    2
    ）÷3
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察下列各等式，并解答问题：
    1
    1×2
    =1-
    1
    2
    ，
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    ，
    1
    4×5
    =
    1
    4
    -
    1
    5
    ；…，以此类推，可得：
    （1）
    1
    5×6
    =___；
    （2）
    1
    n(n+1)
    =_____（n是正整数）
    （3）计算：
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +…+
    1
    2011×2012
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察下列各等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42…通过上述观察，你能猜想出反映这种规律的一般结论吗？你能运用上述规律求1+3+5+7+…+2 011的值吗？

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