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精英家教网用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框,下部为矩形,上部为等腰直角三角形,其斜边长为2xm.当该金属框围成的图形面积最大时,图形中矩形的相邻两边长各为多少?请求出金属框围成的图形的最大面积.
分析:由特殊等腰直角三角形,设出直角边长,再表示其它各边边长,把金属框围成的面积用未知量x表示出来,转化为求函数最值问题,从而求出金属框围成的图形的最大面积.
解答:解:根据题意可得,等腰直角三角形直角边长为
2
x
m,矩形的一边长为2xm,
其相邻边长为
20-(4+2
2
)x
2
=[10-(2+
2
)x
]m,
∴该金属框围成的面积S=2x[10-(2+
2
)x]
+
1
2
×
2
x•
2
x
=-(3+2
2
)x2+20x
0<x<10-5
2

当x=-
b
2a
=
10
3+2
2
=30-20
2
时,金属围成的面积最大,
此时斜边长2x=(60-40
2
)m,
相邻边长为10-(2+
2
•10(3-2
2
)
=(10
2
-10
)m,
S最大=100(3-2
2
)=(300-200
2
)m2
答:矩形的相邻两边长各为(60-40
2
)m,(10
2
-10)m,金属框围成的图形的最大面积为:(300-200
2
)m 2
点评:此题考查二次函数的性质及其应用,将实际问题转化为求函数最值问题,从而来解决实际问题,比较简单.
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