Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.

（1）求抛物线的解析式；

（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；

（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）四边形MNGF周长最小值为12；（3）存在点P，P坐标为（6，﹣6）；（4）抛物线平移的距离为3个单位长度.

【解析】

（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6.由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标.由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式；（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'.易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标，即求得答案；（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积.又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PQ平行y轴交直线OD于点Q，把△ODP拆分为△OPQ与△DPQ的和或差来计算，故存在等量关系.设点P坐标为t，用t表示PQ的长即可列方程.求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件；（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，-6）.易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值.

（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2

∴A（2，0）

∵OA：AD＝1：3

∴AD＝3OA＝6

∵四边形ABCD是矩形

∴AD⊥AB

∴D（2，﹣6）

∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E

∴

解得：

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x

（2）如图1，作点M关于x轴的对称点M'，作点N关于y轴的对称点N'，连接FM'、GN'、M'N'

∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8

∴抛物线对称轴为直线x＝4

∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）

∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称

∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）

∴AB＝CD＝4，B（6，0）

∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°

∴∠BAM＝45°

∴BM＝AB＝4

∴M（6，﹣4）

∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上

∴M'（6，4），FM＝FM'

∵N为CD中点

∴N（4，﹣6）

∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上

∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'

∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'

∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小

∴C四边形MNGF＝MN+M'N'=

∴四边形MNGF周长最小值为12.

（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为.

过点P作PQ∥y轴交直线OD于点Q

∵D（2，﹣6）

∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x

设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点Q（t，﹣3t）

①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧

∴PQ＝yQ﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t

∴S△ODP＝S△OPQ+S△DPQ＝PQxP+PQ（xD﹣xP）＝PQ（xP+xD﹣xP）＝PQxD＝PQ＝﹣t2+t

∵△ODP中OD边上的高h＝，

∴S△ODP＝ODh

∴﹣t2+t＝×2×

方程无解

②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧

∴PQ＝yP﹣yQ＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t

∴S△ODP＝S△OPQ﹣S△DPQ＝PQxP﹣PQ（xP﹣xD）＝PQ（xP﹣xP+xD）＝PQxD＝PQ＝t2﹣t

∴t2﹣t＝×2×

解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6

∴P（6，﹣6）

综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为.

（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L

∵KL平分矩形ABCD的面积

∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4

∴K（m，0），L（2+m，-6）

连接AC，交KL于点H

∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD

∴S△AHK＝S△CHL

∵AK∥LC

∴△AHK∽△CHL

∴==1，

∴AH＝CH，KH=HL，即点H为AC中点，也是KL中点

∴H（4，﹣3）

∴

∴m＝3

∴抛物线平移的距离为3个单位长度.