Question

如图，已知抛物线与抛物线关于y轴对称，并与y轴交于点M，与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线y₁的解析式；
（2）若AB的中点为C，求sin∠CMB；
（3）若一次函数y=kx+h的图象过点M，且与抛物线y₁交于另一点N（m，n），其中m≠n，同时满足m²-m+t=0和n²-n+t=0（t为常数）．
①求k值；
②设该直线交x轴于点D，P为坐标平面内一点，若以O、D、P、M为顶点的四边形是平行四边形，试求P点的坐标．（只需直接写出点P的坐标，不要求解答过程）

Answer 1

解：（1）对于函数来说，令x=0，则y=5，
∴M（0，5），
令y=0，则x²+6x+5=0，
∴x₁=-1，x₂=-5，
∴抛物线y₂与x轴两交点的坐标为（-1，0），（-5，0），
∵抛物线y₁、y₂关于y轴对称，
∴A（1，0），B（5，0）．…
故可设y₁=a（x-1）（x-5），将点M（0，5）代入，得y₁=（x-1）（x-5），即．…
（2）∵A（1，0），B（5，0），M（0，5），C为AB的中点，
∴C（3，0），CB=2，MC=，
∴S_△CMB=CB•OM=×2×5=5，
∵OM=OB=5，
∴由勾股定理可得MB=5，
过点C作CH⊥MB于点H，则×5-CH=5，

∴CH=，
在Rt△MCH中，sin∠CMB===．
（3）①∵直线y=kx+h过点M（0，5），
∴h=5，
∵N（m，n）在抛物线y₁上，
∴n=m²-6m+5，
又∵m²-m+t=0，n²-n+t=0，
故两式相减，得：m²-n²-m+n=0，即（m-n）（m+n-1）=0．
∵m≠n，
∴m+n-1=0，即n=1-m，
将n=1-m代入n=m²-6m+5得：m²-5m+4=0，
∴m₁=1，m₂=4．从而n₁=0，n₂=-3，
∴N₁（1，0），N₂（4，-3），
故将它们的坐标分别代入y=kx+5中，得k₁=-5，k₂=-2．
②当k=-5时，直线为y=-5x+5，此时D，N与A点重合．
因此满足条件的P点有三个：P₁（1，5），P₂（-1，5），P₃（1，-5）．
当k=-2时，直线为y=-2x+5，此时D（，0）．
因此满足条件的P点也有三个：P₄（，5），P₅（-，5），P6（，-5）．
综上，满足条件的P点共有六个：P₁（1，5），P₂（-1，5），P₃（1，-5），P₄（，5），P₅（-，5），P₆（，-5）．
分析：（1）对与函数，令x=0，可得y=5，从而可得出点M的坐标，令y=0，可求出x₁=-1，x₂=-5，从而得出抛物线y₂与x轴两交点的坐标为（-1，0），（-5，0），结合轴对称的知识，可设y₁=a（x-1）（x-5），将点M（0，5）代入，即可得出解析式；
（2）过点C作CH⊥MB于点H，求出CB、MC，及△CMB的面积，然后利用勾股定理求出MB的长度，继而可得出CH的长度，在RT△MNH中可求出sin∠CMB的值；
（3）先根据题意得出直线y=kx+h中k的可能值，然后分类讨论得出点D的坐标，根据平行四边形的性质即可得出点P的坐标．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．